已知矩陣A=
3a
0-1
，a∈R，若點(diǎn)P（2，-3）在矩陣A的變換下得到點(diǎn)P′（3，3）．
（1）則求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求矩陣A的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量．
考點(diǎn)：不等式的證明,特征值與特征向量的計(jì)算
專題：選作題,矩陣和變換
分析：（1）由題意，
3a
0-1
2
-3
=
3
3
，即可求出實(shí)數(shù)a的值；
（2）先求出矩陣M的特征多項(xiàng)式，進(jìn)而可求矩陣M的特征值．利用方程組可求相應(yīng)的特征向量．
解答： 解：（1）由題意，
3a
0-1
2
-3
=
3
3
，
∴6-3a=3，
∴a=1；
（2）f（λ）=
.
λ-3-1
0λ+1
.
=（λ-3）（λ+1）=0，
∴特征值λ1=3，λ2=-1
當(dāng)λ1=3時(shí)，解得0•x+y=0
所以矩陣M的屬于特征值-1的一個(gè)特征向量為
1
0
．
當(dāng)λ2=-1時(shí)，解得-4x-y=0，
所以矩陣M的屬于特征值3的一個(gè)特征向量為
1
-4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用、特征值與特征向量的計(jì)算，解題時(shí)要注意特征值與特征向量的計(jì)算公式的運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在對(duì)哈三中高二學(xué)生喜歡學(xué)的科目的一次調(diào)查中，共調(diào)查了200人，其中男同學(xué)120 人，女同學(xué)80人，男同學(xué)中有80人喜歡學(xué)數(shù)學(xué)，另外40人喜歡學(xué)語(yǔ)文；女同學(xué)中有30人喜歡學(xué)數(shù)學(xué)，另外50人喜歡學(xué)語(yǔ)文．
（Ⅰ）填表，完成2×2列聯(lián)表；
喜歡科目
性別		 數(shù)學(xué) 語(yǔ)文 總計(jì)
女
男
總計(jì)
（Ⅱ）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為性別與喜歡科目有關(guān)系？參考公式K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2≥k） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)p（x）=a1
C
0
n
（2-x）n+a2
C
1
n
x（2-x）n-1+a3
C
2
n
x2（2-x）n-2+…+an
C
n-1
n
xn-1（2-x）+an+1
C
n
n
xn．
（Ⅰ）若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求p（-
1
2
）的值；
（Ⅱ）若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，求證：p（x）是關(guān)于x的一次多項(xiàng)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-
1
2
ax2-2x．
（1）若a=3，求f（x）的增區(qū)間；
（2）若a＜0，且函數(shù)f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（3）若a=-
1
2
且關(guān)于x的方程f（x）=-
1
2
x+b在[1，4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an-an-1=n，
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（Ⅱ）在△ABC中，AB=a3，cosC=
1
a2
，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求函數(shù)y=
6
cosx-
2
sinx在[0，π]上的最值和單調(diào)增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在橢圓
x2
16
+
y2
12
=1上找一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到直線x-2y-12=0的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)P是曲線C：
x=2cosθ
y=
3
sinθ
（θ為參數(shù)，π≤θ≤2π）上一點(diǎn)，O為原點(diǎn)．若直線OP的傾斜角為
π
3
，求點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an+Sn=1．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an
+1，又cn=
1
an+1bnbn+1
，且數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn＜
2
3
．

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