Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n+S_n=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：b_n=

1

an

+1，又c_n=

1

an+1bnbn+1

，且數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜

2

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+S_n=1，得a_n-1+S_n-1=1（n≥2），a₁+S₁=1，由此能求出數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，從百求出a_n=

1

2n

．
（2）由（1）知b_n=

1

an

+1=2ⁿ+1，所以c_n=

1

an+1bnbn+1

=2（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

），由此利用裂項(xiàng)求和法能證明T_n＜

2

3

．

解答： （1）解：由a_n+S_n=1，得a_n-1+S_n-1=1（n≥2），
兩式相減并整理得

an

an-1

=

1

2

（n≥2），
又a₁+S₁=1，解得a₁=

1

2

，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴a_n=

1

2n

．
（2）證明：由（1）知b_n=

1

an

+1=2ⁿ+1，
∴c_n=

1

an+1bnbn+1

=

2n+1

(2n+1)(2n+1+1)

=2（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

），
∴T_n=2（

1

2+1

-

1

22+1

+

1

22+1

-

1

23+1

+…+

1

2n+1

-

1

2n+1+1

）
=2（

1

3

-

1

2n+1+1

）＜

2

3

．
∴T_n＜

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．