Question

我校社團(tuán)將舉行一屆象棋比賽，規(guī)則如下：兩名選手比賽時(shí)，每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)結(jié)束．假設(shè)選手甲與選手乙比賽時(shí)，甲每局獲勝的概率皆為

2

3

，且各局比賽勝負(fù)互不影響．設(shè)ξ表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù)，則隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：這是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，設(shè)ξ表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù)，設(shè)ξ表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù)，ξ只能取值2，4，6，不能為3，5，分別求出ξ的取值為2，4，6的概率，從而求出數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：由題意知，ξ的取值為2，4，6．
則P（ξ=2）=(

2

3

)2+(

1

3

)2=

5

9

，
P（ξ=4）=

C

1 2

•

1

3

•

2

3

•(

2

3

)2+

C

1 2

•

1

3

•

2

3

•(

1

3

)2=

20

81

，
P（ξ=6）=（

C

1 2

•

1

3

•

2

3

）²=

16

81

，
隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望為：
Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．
故答案為：

266

81

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查獨(dú)立重復(fù)事件的概率計(jì)算、離散型隨機(jī)變量的分布列、期望，考查學(xué)生的邏輯推理能力以及基本運(yùn)算能力，易錯(cuò)點(diǎn)為ξ的取值不正確，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤．