Question

已知a_n=3ⁿ-（-2）ⁿ，求證：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a_n=3ⁿ-（-2）ⁿ，得

1

a2

=

1

a1

=

1

5

，分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況，利用放縮法能證明

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

．

解答： 證明：∵a_n=3ⁿ-（-2）ⁿ，
∴a₁=3+2=5，a₂=9-4=5，

1

a2

=

1

a1

=

1

5

，
當(dāng)n為奇數(shù)時，

1

an

=

1

3n+2n

，

1

an-2

=

1

3n-2+2n-2

，

1 an

1 an-2

=

3n-2+2n-2

3n+2n

＜

1

5

，

1

an-1

=

1

3n-1-2n-1

，

1

an-3

=

1

3n-3-2n-3

，

1 an-1

1 an-3

=

3n-3-2n-3

3n-1-2n-1

＜

1

5

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

5

×[

1-( 1 5 ) n+1 2

1- 1 5

]+

1

5

×[

1-( 1 5 ) n-1 2

1- 1 5

]＜

1

2

．
當(dāng)n為偶數(shù)時，

1

an

=

1

3n-2n

，

1

an-2

=

1

3n-2-2n-2

，

1 an

1 an-2

=

3n-2-2n-2

3n-2n

＜

1

5

，

1

an-1

=

1

3n-1+2n-1

，

1

an-3

=

1

3n-3+2n-3

，

1 an-1

1 an-3

=

3n-3+2n-3

3n-1+2n-1

＜

1

5

，
∴∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

5

×[

1-( 1 5 ) n+1 2

1- 1 5

]+

1

5

×[

1-( 1 5 ) n-1 2

1- 1 5

]＜

1

2

．
綜上，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

．

點評：本題考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意放縮法的合理運用．