Question

20．已知：函數(shù)f（x）=lg（1-x）+lg（p+x），其中p＞-1
（1）求f（x）的定義域；
（2）若p=1，當(dāng)x∈（-a，a]其中a∈（0，1），a是常數(shù)時(shí)，函數(shù)f（x）是否存在最小值，若存在，求出f（x）的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，解不等式即可得到所求定義域；
（2）運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)的最值，即可得到所求最值．

解答 解：（1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{p+x＞0}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{x＞-p}\end{array}\right.$，由p＞-1，可得-p＜1，
即有-p＜x＜1，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?p，1）；
（2）f（x）=lg（1-x）+lg（1+x）=lg（1-x²），（-a＜x≤a），
令t=1-x²，（-a＜x≤a），y=lgt，為遞增函數(shù)．
由t的范圍是[1-a²，1]，
當(dāng)x=a時(shí)，y=lgt取得最小值lg（1-a²），
故存在x=a，函數(shù)f（x）取得最小值，且為lg（1-a²）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定義域和最值的求法，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．