Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

2

2

，過橢圓上一點P（2，1）作傾斜角互補的兩條直線，分別交橢圓于不同兩點A、B．
（Ⅰ）求證：直線AB的斜率為一定值；
（Ⅱ）若直線AB與y軸的交點Q滿足：3

QA

+

QB

=

0

，求直線AB的方程；
（Ⅲ）若在橢圓上存在關(guān)于直線AB對稱的兩點，求直線AB在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）先求出橢圓的方程，設(shè)直線AB方程為y=kx+m（2k+m≠1），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，結(jié)合直線PA、PB的傾斜角互補，即可求出直線AB的斜率為一定值．
（Ⅱ）設(shè)直線AB方程為y=x+m，代入橢圓方程，利用韋達定理，即可求出直線AB方程；
（Ⅲ）設(shè)M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）為橢圓上關(guān)于直線AB對稱的兩點，求出MN中點，利用點在橢圓內(nèi)，即可求直線AB在y軸上截距的取值范圍．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y 2

b2

=1(a＞b＞0)，
所以橢圓方程為

x2

6

+

y 2

3

=1．   …（3分）
設(shè)直線AB方程為y=kx+m（2k+m≠1），
由

y=kx+m x2 6 + y2 3 =1

消去y得，（1+2k²）x²+4kmx+2m²-6=0，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則

x1+x2= -4km 1+2k2 x1x2= 2m2-6 1+2k2

，
因為直線PA、PB的傾斜角互補，所以k_PA+k_PB=0，
所以

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=0，
所以（kx₁+m-1）（x₂-2）+（kx₂+m-1）（x₁-2）=0，
所以2kx₁x₂+（m-2k-1）（x₁+x₂）+4-4m=0，即（k-1）（2k+m-1）=0，解得k=1．
所以直線AB的斜率為一定值．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可設(shè)直線AB方程為y=x+m，則Q（0，m），設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則
由3

QA

+

QB

=

0

得3x₁+x₂=0．
由

y=x+m x2 6 + y2 3 =1

得3x2+4mx+2m2-6=0，所以

x1+x2= -4m 3 x1x2= 2m2-6 3

，
解得m=1，所以直線AB方程為y=x+1．…（10分）
（Ⅲ）解：設(shè)M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）為橢圓上關(guān)于直線AB對稱的兩點，則kMN=

y3-y4

x3-x4

=-1
設(shè)MN中點為D（x₀，y₀），則x₃+x₄=2x₀，y₃+y₄=2y₀，
由

x 2 3 6 + y 2 3 3 =1 x 2 4 6 + y 2 4 3 =1

得

(x3+x4)(x3-x4)

6

+

(y3+y4)(y3-y4)

3

=0，x₀=2y₀
又y₀=x₀+m，所以x₀=-2m，y₀=-m
由點D（x₀，y₀）在橢圓內(nèi)知

x 2 0

6

+

y 2 0

3

＜1，

4m2

6

+

m2

3

＜1，解得-1＜m＜1，
即為直線AB在y軸上截距的取值范圍．…（15分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．