在平面直角坐標系xOy中，點P到兩圓C1與C2的圓心的距離之和等于4，其中C1：x2+y2-2
3
y+2=0，C2：x2+y2+2
3
y-3=0．設點P的軌跡為C．
（1）求C的方程；
（2）設直線y=kx+1與C交于A，B兩點．問k為何值時
OA
⊥
OB
？此時|
AB
|的值是多少？
考點：向量在幾何中的應用
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（1）利用點P到兩圓C1與C2的圓心的距離之和等于4，可得點P的軌跡C是以(0，-
3
)，(0，
3
)為焦點，長半軸長為2的橢圓，從而可求C的方程；
（2）直線方程代入橢圓方程，
OA
⊥
OB
，可得其數(shù)量積為0，即可得出結論．
解答： 解：（1）由已知得兩圓的圓心坐標分別為C1(0，
3
)，C2(0，-
3
)．（1分）
設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以(0，-
3
)，(0，
3
)為焦點，長半軸長為2的橢圓  （2分）
它的短半軸長b=
22-(
3
)2
=1，（3分）
故曲線C的方程為x2+
y2
4
=1．  利用                                 （4分）
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），其坐標滿足
x2+
y2
4
=1
y=kx+1.

消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-3=0，（5分）
∵k2+4≠0，△=4k2+12（k2+4）=16（k2+3）＞0，
∴x1，2=
-2k±
△
2(k2+4)
，
故x1+x2=-
2k
k2+4
，x1x2=-
3
k2+4
．                           （6分）
又y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1（7分）
于是x1x2+y1y2=-
3
k2+4
-
3k2
k2+4
-
2k2
k2+4
+1=
-4k2+1
k2+4
．        （8分）
令
-4k2+1
k2+4
=0，得k=±
1
2
．（9分）
∵
OA
•
OB
=x1x2+y1y2，
∴當k=±
1
2
時，有
OA
•
OB
=0，即
OA
⊥
OB
．（10分）
當k=±
1
2
時，x1+x2=?
4
17
，x1x2=-
12
17
．                    （11分）
|AB|
=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
=
(1+k2)(x2-x1)2
，（12分）
而(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=
42
172
+4×
12
17
=
43×13
172
，（13分）
∴
|AB|
=
4
65
17
．                                          （14分）
點評：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，
OA
⊥
OB
，可得其數(shù)量積為0，是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x，y滿足
2x+y-2≥0
x-2y+4≥0
3x-y-3≤0
，則關于x2+y2的說法，正確的是（　�。�
A、有最小值1
B、有最小值
4
5
C、有最大值
13
D、有最小值
2
5
5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知集合A={（x，y）|x+y≤1，且x≥0，y≥0}，則集合B={（x+y，x-y）|（x，y）∈A}內的點所形成的平面區(qū)域的面積為（　�。�
A、2
B、1
C、
1
2
D、
1
4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C過點M（0，-2），N（3，1），且圓心C在直線x+2y+1=0上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）問是否存在滿足以下兩個條件的直線l：①斜率為1；②直線被圓C截得的弦為AB，以AB為直徑的圓C1過原點．若存在這樣的直線，請求出其方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C1：y2=8x與雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）有公共焦點F2，點A是曲線C1，C2在第一象限的交點，且|AF2|=5．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）以雙曲線C2的另一焦點F1為圓心的圓M與直線y=
3
x相切，圓N：（x-2）2+y2=1．過點P（1，
3
）作互相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線l1和l2，設l1被圓M截得的弦長為s，l2被圓N截得的弦長為t，問：
s
t
是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，C為切點，連接AC，過點A作AD⊥CD于點D，交⊙O于點E．
（Ⅰ）證明：∠AOC=2∠ACD；
（Ⅱ）證明：AB•CD=AC•CE．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1的一個焦點為（0，-
3
），且橢圓經(jīng)過點（
1
2
，
3
）．開口向上的拋物線C2的焦點到準線的距離為2，C1的中心和C2的頂點均為坐標原點O．
（1）求C1和C2的標準方程；
（2）A、B為拋物線C2上的點，分別過A、B作拋物線C2的切線，兩條切線交于點Q，若點Q恰好在其準線上．
    ①直線AB是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，說明理由；
    ②指出點Q與以線段AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為
2
2
，過橢圓上一點P（2，1）作傾斜角互補的兩條直線，分別交橢圓于不同兩點A、B．
（Ⅰ）求證：直線AB的斜率為一定值；
（Ⅱ）若直線AB與y軸的交點Q滿足：3
QA
+
QB
=
0
，求直線AB的方程；
（Ⅲ）若在橢圓上存在關于直線AB對稱的兩點，求直線AB在y軸上截距的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列四個命題：
①命題p：?x∈R，sinx≤1，則?p：?x∈R，sinx＜1．
②當a≥1時，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集為非空．
③當x＞1時，有lnx+
1
lnx
≥2．
④設x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要條件．
其中真命題的個數(shù)是
 
．

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