Question

P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞，b＞0)右支上一點(diǎn)，F(xiàn)₁與F₂是左右焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則t=

PF1+PF2

OP

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：利用第二定義有PF₁=ex₀-a，PF₂=ex₀+a，PF₁+PF₂=2ex₀，求出OP，可得

1

4

t²=

1

4

•

PF1+PF2

OP

=

1

1- b2 e2x02

，結(jié)合x(chóng)₀²≥a²，即可求出t=

PF1+PF2

OP

的取值范圍．

解答： 解：P（x₀，y₀），有y₀²=

b2

a2

（x₀²-a²），設(shè)雙曲線半焦距為c，離心率為

c

a

由第二定義有PF₁=ex₀-a，PF₂=ex₀+a，PF₁+PF₂=2ex₀
又OP²=x₀²+y₀²=x₀²+

b2

a2

（x₀²-a²）=e²x₀²-b²
∴

1

4

t²=

1

4

•

PF1+PF2

OP

=

1

1- b2 e2x02

∵x₀²≥a²，
∴1＜

1

4

t²≤e²，
∴t∈（2，2e]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的第二定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定PF₁=ex₀-a，PF₂=ex₀+a是關(guān)鍵．