Question

給出下列四個(gè)命題：
①已知函數(shù)f（x）=2^x+2^-x，則y=f（x-2）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；
②平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（-2，3）和到直線l：2x+y+1=0的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是拋物線；
③若向量

a

，

b

滿足

a

•

b

＜0，則

a

與

b

的夾角為鈍角；
④存在x₀∈（1，2），使得（x₀²-3x₀+2）e x0+3x₀-4=0成立，
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：①通過函數(shù)的奇偶性定義及圖象特點(diǎn)，將其平移，即可判斷；
②由拋物線的定義：到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離的動(dòng)點(diǎn)軌跡是拋物線，必須是定點(diǎn)不在定直線上，即可判斷；
③由數(shù)量積的定義可知，數(shù)量積小于0，可以兩向量反向共線，即可判斷；
④由函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，驗(yàn)證f（1），f（2）的符號(hào)，即可判斷．

解答： 解：①因?yàn)閤∈R，f（-x）=2^-x+2^x=f（x），則f（x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
將其圖象向右平移2個(gè)單位，得到y(tǒng)=f（x-2）的圖象，則關(guān)于直線x=2對(duì)稱．故①對(duì)；
②由于定點(diǎn)F（-2，3）在直線l：2x+y+1=0上，故點(diǎn)P的軌跡為過F且垂直于l的直線．故②錯(cuò)；
③若向量

a

，

b

滿足

a

•

b

＜0，則

a

與

b

的夾角為鈍角或

a

，

b

反向共線，故③錯(cuò)；
④令f（x）=（x²-3x+2）•e^x+3x-4，f（1）=（1-3+2）•e+3-4＜0，f（2）=（4-6+2）•e²+6-4＞0，
由函數(shù)的零點(diǎn)存在定理得，f（x）在（1，2）上至少有一個(gè)零點(diǎn)．故④對(duì)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體，考查函數(shù)的圖象平移和函數(shù)的對(duì)稱性、函數(shù)的零點(diǎn)存在定理、向量的夾角和拋物線的定義，注意隱含條件，是一道基礎(chǔ)題，也是易錯(cuò)題．