Question

14．通過計算可得下列等式：
2³-1³=3×1²+3×1+1；
3³-2³=3×2²+3×2+1；
4³-3³=3×3²+3×3+1；
…
（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1．
將以上各等式兩邊分別相加，得
（n+1）³-1³=3（1²+2²+…+n²）+3（1+2+3+…+n）+n；
即1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1）．
類比上述求法，請你求出1³+2³+3³+…+n³的值．

Answer 1

分析 由（n+1）⁴-n⁴=4n³+6n²+4n+1，利用“累加求和”及其已知結(jié)論即可得出．

解答 解：∵（n+1）⁴-n⁴=4n³+6n²+4n+1，
∴（n+1）⁴=[（n+1）⁴-n⁴]+[n⁴-（n-1）⁴]+…+（2⁴-1⁴）+1
=4（1³+2³+…+n³）+6（1²+2²+…+n²）+4（1+2+…+n）+n+1
=4（1³+2³+…+n³）+n（n+1）（2n+1）+4×$\frac{n（n+1）}{2}$+n+1，
解得1³+2³+3³+…+n³=$[\frac{n（n+1）}{2}]^{2}$．

點評 本題考查了“累加求和”、等差數(shù)列的前n項和公式，考查了類比推理、計算能力，屬于中檔題．