Question

已知函數(shù)f（x）=2x+

2

x

+alnx，a∈R．若函數(shù)f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍？

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：通過已知條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立，得到a的表達式，求出a的最小值即可．

解答： 解：由函數(shù)f（x）=alnx+2x+

2

x

，
得f′（x）=

a

x

+2-

2

x2

，
若函數(shù)f（x）為[1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，
則f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式

a

x

+2-

2

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥

2

x

-2x在[1，+∞）上恒成立．
又g（x）=

2

x

-2x在[1，+∞）上為減函數(shù)，
g（x）_max=g（1）=0．
∴a≥0．

點評：本題考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力．