Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且4sin²

B+C

2

-cos2A=

7

2

．
（Ⅰ）求角A的大小
（Ⅱ）求sinBsinC的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）已知等式利用誘導公式化簡，整理后再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，變形求出cosA的值，即可確定出角A的大小；
（Ⅱ）由A的度數(shù)表示出B+C的度數(shù)，用B表示出C，代入所求式子，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域即可確定出最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，
∴sin

B+C

2

=sin

π-A

2

=cos

A

2

，
由已知等式變形得：4cos²

A

2

-cos2A=

7

2

，即2（1+cosA）-（2cos²A-1）=

7

2

，
整理得：（2cosA-1）²=0，
解得：cosA=

1

2

，
∵A是三角形的內(nèi)角，
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）sinBsinC=sinBsin（

2π

3

-B）=

3

2

sinBcosB+

1

2

sin²B=

3

4

sin2B+

1

4

（1-cos2B）=

1

2

sin（2B-

π

6

）+

1

4

，
當2B-

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

時，sinBsinC取最大值

3

4

．

點評：此題考查了誘導公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．