Question

過點P（1，4）作直線l，直線l與x，y的正半軸分別交于A，B兩點，O為原點，
（Ⅰ）△ABO的面積為9，求直線l的方程；
（Ⅱ）若△ABO的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程．

Answer 1

考點：直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）由點P設出直線l的方程，求出l與x、y軸的交點坐標，由△的面積求出斜率k的值即可；
（Ⅱ）由△ABO的面積S表達式，用基本不等式求出k的值，即得l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設直線l為：y-4=k（x-1），
即y=kx-k+4（k＜0）；
∴直線l與x軸和y軸的交點坐標分別為：
(1-

4

k

，0)，(0，4-k)；
∴△ABO的面積為：

1

2

(4-k)(1-

4

k

)=9，
解得k=-2或k=-8；
∴直線l為：2x+y-6=0或8x+y-12=0．
（Ⅱ）由（1）知，△ABO的面積為：
S=

1

2

（4-k）（1-

4

k

）=

1

2

（8-k-

16

k

）≥

1

2

（8+8）=8；
當且僅當-k=-

16

k

，即k=-4時，“=”成立，
∴k=-4時，直線l為：4x+y-8=0．

點評：本題考查了平面內(nèi)直線方程的應用以及基本不等式的應用問題．