Question

已知曲線C：y=x²，過點(diǎn)P（0，a）（a＜0）向C做切線，切點(diǎn)分別為A，B，則

PA

•

PB

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設(shè)切線方程是y=kx+a，（a＜0）．聯(lián)立

y=x2 y=kx+a

，得x²-kx-a=0，由△=0，推導(dǎo)出

PA

•

PB

=a+4a²=（2a+

1

2

）²-

1

4

．由此能求出

PA

•

PB

的最小值．

解答： 解：設(shè)切線方程是y=kx+a，（a＜0）．
聯(lián)立

y=x2 y=kx+a

，得x²-kx-a=0①，
∵△=k²+4a=0，∴k=±2

-a

，
代入①，得：x=±

-a

，y=-a，
∴A、B的坐標(biāo)是（-

-a

，-a）、（

-a

，-a）．
∴

PA

=（-

-a

，-2a），

PB

=（

-a

-2a），
∴

PA

•

PB

=a+4a²=（2a+

1

2

）²-

1

4

．
∴

PA

•

PB

的最小值是-

1

4

．
故答案為：-

1

4

．

點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積的最小值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意拋物線的簡單性質(zhì)的靈活運(yùn)用．