Question

19．已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中點，O是AD的中點，則直線BM與平面PCO所成角的正弦值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 以O為原點，在平面ABCD內(nèi)過O作AB的平行線為x軸，以OD為y軸，以OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線BM與平面PCO所成角的正弦值．

解答 解：以O為原點，在平面ABCD內(nèi)過O作AB的平行線為x軸，以OD為y軸，以OP為z軸，
建立空間直角坐標系，
B（2，-1，0），C（2，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
M（1，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），O（0，0，0），
$\overrightarrow{BM}$=（-1，$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{OP}$=（0，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{OC}$=（2，1，0），
設平面PCO的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OP}=\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OC}=2x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，0），
設直線BM與平面PCO所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{BM}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-1-3}{2\sqrt{5}}$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴直線BM與平面PCO所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．