Question

函數y=f（x）（x≠0）是奇函數，且當x∈R⁺時是增函數，若f（1）=0，則不等式f[x(x-

1

2

)]＜0的解集為

 

．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：根據函數為奇函數求出f（-1）=0，再將不等式 f[x（x-

1

2

）]＜0分成兩類加以討論，再分別利用函數的單調性進行求解，可以得出相應的解集再求并即可．

解答： 解：∵f（x）為奇函數，且在（0，+∞）上是增函數，f（1）=0，
∴f（-1）=-f（1）=0，且函數f（x）在（-∞，0）內是增函數．
∴f[x（x-

1

2

）]＜0?當x（x-

1

2

）＞0時，f[x（x-

1

2

）]＜0=f（1）或
當x（x-

1

2

）＜0時，f[x（x-

1

2

）]＜0=f（-1）
根據f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）內是都是增函數，
得到：0＜x（x-

1

2

）＜1或x（x-

1

2

）＜-1⇒

1

2

＜x＜

1+ 17

4

或

1- 17

4

＜x＜0 或x∈Φ
故答案為：{x|

1

2

＜x＜

1+ 17

4

或

1- 17

4

＜x＜0}

點評：本題主要考查了函數的奇偶性的性質，以及函數單調性的應用等有關知識，屬于基礎題．結合函數的草圖，會對此題有更深刻的理解．