已知橢圓O:
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為e1,動△ABC是其內(nèi)接三角形,且
OC
=
3
5
OA
+
4
5
OB
.若AB的中點(diǎn)為D,D的軌跡E的離心率為e2,則(  )
A、e1=e2
B、e1<e2
C、e1>e2
D、e1e2=1
考點(diǎn):橢圓的簡單性質(zhì)
專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),代入橢圓的方程并利用
OC
=
3
5
OA
+
4
5
OB
,可得C(
3
5
x1+
4
5
x2
3
5
y1+
4
5
y2)
.代入橢圓的方程可得
x1x2
a2
+
y1y2
b2
=0
(定值).再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得D的坐標(biāo),計(jì)算
x
2
D
a2
+
y
2
D
b2
為定值即可得出.
解答: 解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
x
2
1
a2
+
y
2
1
b2
=1
,
x
2
2
a2
+
y
2
2
b2
=1

OC
=
3
5
OA
+
4
5
OB
,得C(
3
5
x1+
4
5
x2,
3
5
y1+
4
5
y2)

∵C是橢圓上一點(diǎn),
(
3
5
x1+
4
5
x2)
2
a2
+
(
3
5
y1+
4
5
y2)
2
b2
=1

(
3
5
)2(
x
2
1
a2
+
y
2
1
b2
)+(
4
5
)2(
x
2
2
a2
+
y
2
2
b2
)+2(
3
5
)(
4
5
)(
x1x2
a2
+
y1y2
b2
)=1
,
得 
x1x2
a2
+
y1y2
b2
=0
(定值).
 設(shè)D(x,y),則x=
x1+x2
2
,y=
y1+y2
2

x2
a2
+
y2
b2
=
(
x1+x2
2
)
2
a2
+
(
y1+y2
2
)
2
b2
=
1
4
(
x
2
1
a2
+
y
2
1
b2
)+
1
4
(
x
2
2
a2
+
y
2
2
b2
)=
1
2
,
∴e1=e2
故選:A.
點(diǎn)評:本題考查了點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的性質(zhì)、向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,考查了推理能力和計(jì)算能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

有四輛不同特警車準(zhǔn)備進(jìn)駐四個編號為1,2,3,4的人群聚集地,其中有一個地方?jīng)]有特警車的方法共( 。┓N.
A、144B、182
C、106D、170

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)X是一個非空集合,τ是X的若干個子集組成的集合,若滿足:①∅∈τ,X∈τ;②τ中任意多個元素的并集屬于τ;③τ中任意多個元素的交集屬于τ.則稱τ是X的拓?fù)洌O(shè)X={a,b,c},對于下面給出的集合τ:
(1)τ={∅,{a},,{a,c},{a,b,c}};   
(2)τ={∅,{a},{c},{a,c},{a,b,c}};
(3)τ={∅,{a},{a,b},{a,c},{a,b,c}};  
(4)τ={∅,{a},{a,b},{b,c},{a,b,c}}
則τ是集合X的拓?fù)涞膫數(shù)是( 。
A、1B、2C、3D、4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

復(fù)數(shù)||z+i|-|z-i||=2對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的曲線是( 。
A、雙曲線B、雙曲線的一支
C、線段D、兩條射線

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

記A=cos
1
2
,B=cos
3
2
,C=sin
3
2
-sin
1
2
,則A,B,C的大小關(guān)系是(  )
A、A>B>C
B、A>C>B
C、B>A>C
D、C>B>A

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知全集U={x∈N|0<x≤8},集合A={1,2,4,5},B={3,5,7,8},則圖中陰影部分所表示的集合是( 。
A、{1,2,4}
B、{3,7,8}
C、{1,2,4,6}
D、{3,6,7,8}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于區(qū)間[a,b]上有意義的兩個函數(shù)f(x)與g(x),如果對于區(qū)間[a,b]中的任意數(shù)x均有|f(x)-g(x)|≤1,則稱函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間[a,b]上是密切函數(shù),[a,b]稱為密切區(qū)間.若m(x)=x2-3x+4與n(x)=2x-3在某個區(qū)間上是“密切函數(shù)”,則它的一個密切區(qū)間可能是( 。
A、[3,4]
B、[2,4]
C、[1,4]
D、[2,3]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若平面α的法向量為
n
1
=(3,2,1)
,平面β的法向量為
n2
=(-2,0,1)
,則平面α與β夾角(銳角)的余弦是(  )
A、
70
14
B、
70
10
C、-
70
14
D、-
70
10

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在隨機(jī)抽查某中學(xué)高二級140名學(xué)生是否暈機(jī)的情況中,已知男學(xué)生56人,其中暈機(jī)有28人;女學(xué)生中不會暈機(jī)的為56人.不會暈機(jī)的男學(xué)生中有2人成績優(yōu)秀,不會暈機(jī)的女生中有4人成績優(yōu)秀.
(1)完成下面2×2列聯(lián)表的空白處;
暈機(jī) 不會暈機(jī) 合計(jì)
男學(xué)生 28 56
女學(xué)生 56
合計(jì) 140
(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為是否暈機(jī)與性別有關(guān)系?(k保留三位小數(shù))
(3)若從不會暈機(jī)的6名成績優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人去國外參加數(shù)學(xué)競賽,試求所抽取的2人中恰有一人是男學(xué)生、一人是女學(xué)生的概率.(4分)
注:①參考公式:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
,其中n=a+b+c+d.
②常用數(shù)據(jù)表如下:
P(K2≥k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

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同步練習(xí)冊答案