Question

已知橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，且橢圓Γ的右焦點(diǎn)F與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)重合．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過左焦點(diǎn)F的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，是否存在直線l，使得OA⊥OB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若存在，求出l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由拋物線方程求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橢圓離心率可得長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，再由b²=a²-c²求出短半軸，則橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；
（Ⅱ）分直線l的斜率存在和不存在兩種情況討論，斜率不存在時(shí)通過直接計(jì)算得到滿足條件的直線不存在；斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程的點(diǎn)斜式，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到A、B兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的積，代入

OA

•

OB

=0求得k的值，則直線方程可求．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)F（c，0），
∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），且橢圓Γ的右焦點(diǎn)F與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)重合，∴c=1，
又e=

c

a

=

2

2

，得a=

2

，于是有b²=a²-c²=1．
故橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1；
（2）假設(shè)存在直線l滿足題意．
①當(dāng)直線l為x=-1時(shí)，A( -1 ， 

2

2

 )，B( -1 ， -

2

2

 )，

OA

•

OB

=(-1，

2

2

)•(-1，-

2

2

)=1-

1

2

≠0，此時(shí)OA⊥OB不成立，與已知矛盾，舍去．
②設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），代入

x2

2

+y2=1，消去y得，（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

，
∴

OA

•

OB

=(x1，y1)•(x2，y2)=x₁x₂+y₁y₂
=(k2+1)x1x2+k2(x1+x2)+k2=(k2+1)

2k2-2

2k2+1

+k2

-4k2

2k2+1

 +k2=

k2-2

2k2+1

=0 ⇒k=±

2

 
∴直線l的方程為y=±

2

( x+1 )，
即

2

 x-y+

2

=0或

2

 x+y+

2

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解答直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，常把直線與圓錐曲線聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程后，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解，是高考試卷中的壓軸題．