Question

11．已知圓x²+y²-4x-4y+4=0的弦AB過點（1，1），則AB的最短長度為（　　）

• A． 1
• B． 2$\sqrt{2}-1$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 把圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心M坐標(biāo)與半徑r，當(dāng)MC⊥AB時，AB的長最短，如圖所示，連接AM，根據(jù)M與C坐標(biāo)求出直線MC的斜率，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1求出直線AB的斜率，進而確定出直線AB的解析式，與圓方程聯(lián)立求出A與B的坐標(biāo)，進而求出AB的長，即為最短長度．

解答 解：將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-2）²+（y-2）²=4，即圓心M（2，2），半徑r=2，
當(dāng)MC⊥AB時，AB的長最短，如圖所示，連接AM，
∵C（1，1），M（2，2），即直線CM斜率為$\frac{2-1}{2-1}$=1，
∴直線AB斜率為-1，
∴直線AB方程為y-1=-（x-1），即x+y-2=0，
與圓方程聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4x-4y+4=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，
即A（0，2），B（2，0），
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
故選：D．

點評 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線的斜率，兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，勾股定理，以及直線圓相交的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．