Question

7．有限集合S中所有的元素的乘積稱為數(shù)集S的“積數(shù)”，若集合M={$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$…，$\frac{1}{99}$，$\frac{1}{100}$}．
（1）試求M的所有子集的“積數(shù)”之和；
（2）試求M的所有偶數(shù)個元素的子集的“積數(shù)”之和．

Answer 1

分析 令f（x）=（x+$\frac{1}{2}$）（x+$\frac{1}{3}$）（x+$\frac{1}{4}$）…（x+$\frac{1}{99}$）（x+$\frac{1}{100}$），
（1）則集合M={$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$…，$\frac{1}{99}$，$\frac{1}{100}$}所有子集的“積數(shù)”之和即f（x）展開式中所有項數(shù)之和T-1，
（2）M的所有偶數(shù)個元素的子集的“積數(shù)”之和，即f（x）展開式中所有偶次項數(shù)之和S．

解答 解：（1）令f（x）=（x+$\frac{1}{2}$）（x+$\frac{1}{3}$）（x+$\frac{1}{4}$）…（x+$\frac{1}{99}$）（x+$\frac{1}{100}$），
則集合M={$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$…，$\frac{1}{99}$，$\frac{1}{100}$}所有子集的“積數(shù)”之和即f（x）展開式中所有項數(shù)之和T-1，
令x=1，則T=$\frac{3}{2}$•$\frac{4}{3}$•$\frac{5}{4}$•…•$\frac{100}{99}$•$\frac{101}{100}$=$\frac{101}{2}$，
∵$\frac{101}{2}$-1=$\frac{99}{2}$，
∴M的所有子集的“積數(shù)”之和為$\frac{99}{2}$，
（2）M的所有偶數(shù)個元素的子集的“積數(shù)”之和，
即f（x）展開式中所有偶次項數(shù)之和S，
令x=1，則T=（-$\frac{1}{2}$）•（-$\frac{2}{3}$）•（-$\frac{3}{4}$）•…•（-$\frac{98}{99}$）•（-$\frac{99}{100}$）=-$\frac{1}{100}$，
由$\frac{\frac{101}{2}-\frac{1}{100}}{2}$=$\frac{5049}{200}$得；
M的所有偶數(shù)個元素的子集的“積數(shù)”之和為$\frac{5049}{200}$．

點評 本題考查的知識點是元素與集合關(guān)系的判定，函數(shù)展開式的系數(shù)問題，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．