Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁在如圖所示的空間直角坐標系中．已知AB=2，AC=4，A₁A=3，D是BC的中點．
（1）求直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值；
（2）求二面角B₁-A₁D-C₁的正弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面所成的角

專題：計算題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由題中的坐標系，得到A、B、C、D、A₁、B₁、C₁各點的坐標，從而得出

A1D

、

A1C1

的坐標，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，建立方程組解出

n

=（3，0，1）是平面A₁C₁D的一個法向量，結合

DB1

=（1，-2，3），
利用空間向量的夾角公式和直線所平面所成角的定義與性質，即可算出直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值；
（2）設平面A₁B₁D的一個法向量為

m

=（a，b，c），由

A1D

、

A1B1

的坐標利用數(shù)量積為零建立關于a、b、c的方程組，得到

m

=（0，3，2），結合

n

=（3，0，1）是平面A₁C₁D的一個法向量，利用空間向量的夾角公式算出

n

、

m

夾角的余弦值，再由同角三角函數(shù)的關系即可算出二面角B₁-A₁D-C₁的正弦值．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），
D（1，2，0），A₁（0，0，3），B₁（2，0，3），C₁（0，4，3），
∴

A1D

=（1，2，-3），

A1C1

=（0，4，0），
設平面A₁C₁D的一個法向量是

n

=（x，y，z），
可得：

n • A1D =x+2y-3z=0 n • A1C1 =4y=0

，
取z=1，得x=3，y=0，可得

n

=（3，0，1），
設直線DB₁與平面A₁C₁D所成角為α，而

DB1

=（1，-2，3），
∴sinα=|cos＜

n

，

DB1

＞|=

|3×1+0×(-2)+1×3|

10 • 14

=

3 35

35

．
因此，直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值等于

3 35

35

；
（2）設平面A₁B₁D的一個法向量為

m

=（a，b，c），
結合

A1D

=（1，2，-3）、

A1B1

=（2，0，0），可得：

m • A1D =a+2b-3c=0 m • A1B1 =2a=0

，
取b=3，得a=0，c=2，可得

m

=（0，3，2），
設二面角B₁-A₁D-C₁的大小為β，得
|cosβ|=|cos＜

n

，

m

＞|=

| m • n |

| m |•| n |

=

|0×3+3×0+2×1|

13 • 10

=

2

65

∴sinβ=

1-cos 2β

=

3 455

65

，即二面角B₁-A₁D-C₁的正弦值等于

3 455

65

．

點評：本題在指定空間坐標系內求直線與平面所成角和二面角的大小．著重考查了空間向量的夾角公式和利用空間向量研究空間角的知識，屬于中檔題．同時考查了空間想象能力，邏輯推理能力和運算能力，是一道不錯的綜合題．