Question

對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]（m＜n），當(dāng)定義域是[m，n]時(shí)，f（x）的值域也是[m，n]，則稱f（x）在[m，n]上是“和諧函數(shù)”，且[m，n]為該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．現(xiàn)有以下命題：
①f（x）=（x-1）²在[0，1]是“和諧函數(shù)”；
②恰有兩個(gè)不同的正數(shù)a使f（x）=（x-1）²在[0，a]是“和諧函數(shù)”；
③f（x）=

1

x

+k對(duì)任意的k∈R都存在“和諧區(qū)間”；
④由方程x|x|+y|y|=1確定的函數(shù)y=f（x）必存在“和諧區(qū)間”．
其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①結(jié)合二次函數(shù)f（x）的圖象判定命題正確；
②由①得a=1時(shí)滿足，討論0＜a＜1，a＞1時(shí)，是否有a滿足；
③x＞0時(shí)，若存在[m，n]為“和諧區(qū)間”，可得

f(m)=n f(n)=m

，推出k=0有“和諧區(qū)間”，判定命題錯(cuò)誤；
④x≥0且y≥0時(shí)，可得函數(shù)的“和諧區(qū)間”，判定命題正確．

解答： 解析：對(duì)①，結(jié)合二次函數(shù)f（x）=（x-1）²的圖象得，命題正確；
對(duì)②，結(jié)合圖象，由①，顯然a=1滿足，當(dāng)0＜a＜1時(shí)都不滿足，當(dāng)a＞1時(shí)，令（a-1）²=a，解得a=

3+ 5

2

，∴恰有兩個(gè)不同的a滿足題意，命題正確；
對(duì)③，考慮x＞0時(shí)，若存在[m，n]為“和諧區(qū)間”，由單調(diào)遞減性，可得

f(m)=n f(n)=m

，
即

1 m +k=n 1 n +k=m

，兩式相減得mn=1，∴k=0，
即只有k=0時(shí)才有“和諧區(qū)間”，∴命題錯(cuò)誤；
對(duì)④，考慮x≥0且y≥0時(shí)，可得y=

1-x2

，結(jié)合圖象分析顯然[0，1]為其“和諧區(qū)間”，∴命題正確；
綜上，以上正確的有3個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義的函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)理解新定義的問(wèn)題是什么，結(jié)合題意進(jìn)行解答，是易錯(cuò)題．