Question

16．已知點(diǎn)A（2，4）在冪函數(shù)y=f（x）的圖象上，也在函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{a}{{x}^{3}}$-1
（1）求函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)A處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（2）若函數(shù)h（x）=mf（x）-g（x）-1nx在[1，5]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出冪函數(shù)的解析式，然后求出g（x）的解析式．求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后求解切線方程，求解面積．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)恒為非負(fù)，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解函數(shù)的最值，然后求解m的范圍．

解答 解：（1）點(diǎn)A（2，4）在冪函數(shù)y=f（x）=x^α的圖象上，可得4=2^α，α=2，f（x）=x²；
點(diǎn)A（2，4）在函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{a}{{x}^{3}}$-1上，可得4=4+$\frac{a}{8}$-1，解得a=8．
函數(shù)g（x）=x²+$\frac{8}{{x}^{3}}$-1．
可得g′（x）=2x-$\frac{24}{{x}^{4}}$，
又g′（2）=4-$\frac{24}{{2}^{4}}$=$\frac{5}{2}$，
∴函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)A處的切線的斜率為：$\frac{5}{2}$，切線方程為：y-4=$\frac{5}{2}$（x-2），即5x-2y-2=0．
切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為：（$\frac{2}{5}，0$），（0，-1）．
∴切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=$\frac{1}{2}×\frac{2}{5}×1$=$\frac{1}{5}$．
（2）函數(shù)h（x）=mf（x）-g（x）-1nx=mx²-x²-$\frac{8}{{x}^{3}}$+1-lnx．
h′（x）=2mx-2x+$\frac{24}{{x}^{4}}$-$\frac{1}{x}$，
函數(shù)h（x）=mf（x）-g（x）-1nx在[1，5]上單調(diào)遞增，
可得2mx-2x+$\frac{24}{{x}^{4}}$-$\frac{1}{x}$≥0在[1，5]上恒成立．
即m≥1-$\frac{12}{{x}^{5}}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$在[1，5]上恒成立．令s（x）=1-$\frac{12}{{x}^{5}}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$，
可得s′（x）=$\frac{60}{{x}^{6}}$$-\frac{1}{{x}^{3}}$，令t=$\frac{1}{{x}^{3}}$∈[$\frac{1}{125}$，1]．
函數(shù)化為：y=60t²-t，函數(shù)的對(duì)稱軸t=$\frac{1}{120}$，此時(shí)t∈$[\frac{1}{125}，\frac{1}{60}]$，s′（x）＜0，
t∈$[\frac{1}{60}，1]$，s′（x）＞0，s（x）=1-$\frac{12}{{x}^{5}}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$的最大值為：s（1）=$\frac{-21}{2}$或s（5）=$\frac{51}{50}-\frac{12}{3125}$＞0
∴m≥$\frac{51}{50}-\frac{12}{3125}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，訓(xùn)練了函數(shù)單調(diào)性的證明方法，考查了分離變量法求參數(shù)的取值范圍，是難題．