Question

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.

(1)求實(shí)數(shù)及的值；

(2)求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

(1) (2)詳見解析

【解析】

試題分析：(1) 由導(dǎo)數(shù)幾何意義得： ， ，又 ，，解得 (2)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)走勢：在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，有最小值，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062606035999932851/SYS201506260604079840471806_DA/SYS201506260604079840471806_DA.012.png">，所以在上一定有一解，在上有且僅有一解；難點(diǎn)在證明存在使，這時(shí)需構(gòu)造一個(gè)函數(shù)易得，從而，取，從而得證.

試題解析：(1) 2分

所以在點(diǎn)處的切線方程為

其中， 4分

解得 6分

(2)

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)減

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)增

所以有最小值 8分

又，所以在上一定有一解 10分

下面證明存在使

令，

所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)減

當(dāng)時(shí)，，

取 12分

所以在上一定有一解 14分

綜上所述，函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn). 16分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)幾何意義，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用