已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx），其中常數(shù)ω＞0．
（1）當(dāng)ω=2時(shí)，x∈[-

π

6

，

π

3

]，求f（x）的值域；
（2）若y=f（x）在[-

π

4

，

2π

3

]單調(diào)遞增，求ω的取值范圍．

設(shè)各項(xiàng)都是正整數(shù)的無(wú)窮數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：對(duì)任意n∈N^*，有a_n＜a_n+1．記b_n=aan．
（1）若數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公比q=2的等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=3n，證明：a₁=2；
（3）若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，c_n=a an+1，{c_n}是公差為1的等差數(shù)列．記d_n=-2ⁿ•a_n，S_n=d₁+d₂+…+d_n-1+d_n，問(wèn)：使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的最小正整數(shù)n是否存在？并說(shuō)明理由．

在數(shù)列{a_n}中，a_n=

1

n

（n∈N^*）．從數(shù)列{a_n}中選出k（k≥3）項(xiàng)并按原順序組成的新數(shù)列記為{b_n}，并稱(chēng){b_n}為數(shù)列{a_n}的k項(xiàng)子列．例如數(shù)列

1

2

，

1

3

，

1

5

，

1

8

為{a_n}的一個(gè)4項(xiàng)子列．
（Ⅰ）試寫(xiě)出數(shù)列{a_n}的一個(gè)3項(xiàng)子列，并使其為等差數(shù)列；
（Ⅱ）如果{b_n}為數(shù)列{a_n}的一個(gè)5項(xiàng)子列，且{b_n}為等差數(shù)列，證明：{b_n}的公差d滿(mǎn)足-

1

8

＜d＜0；
（Ⅲ）如果{c_n}為數(shù)列{a_n}的一個(gè)m（m≥3）項(xiàng)子列，且{c_n}為等比數(shù)列，證明：c₁+c₂+c₃+…+c_m≤2-

1

2m-1

．

表面積為144π的球內(nèi)切于一個(gè)圓臺(tái)（即球與圓臺(tái)的上、下底面和側(cè)面都相切），如果圓臺(tái)的下底面與上底面的半徑之差為5，求圓臺(tái)的表面積和體積．

“蛟龍?zhí)枴睆暮５字袔Щ氐哪撤N生物，甲乙兩個(gè)生物小組分別獨(dú)立開(kāi)展對(duì)該生物離開(kāi)恒溫箱的成活情況進(jìn)行研究，每次試驗(yàn)一個(gè)生物，甲組能使生物成活的概率為

1

3

，乙組能使生物成活的概率為

1

2

，假定試驗(yàn)后生物成活，則稱(chēng)該試驗(yàn)成功，如果生物不成活，則稱(chēng)該次試驗(yàn)是失敗的．
（1）甲小組做了三次試驗(yàn)，求至少兩次試驗(yàn)成功的概率；
（2）如果乙小組成功了4次才停止試驗(yàn)，求乙小組第四次成功前共有三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗的概率；
（3）若甲乙兩小組各進(jìn)行2次試驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)成功的總次數(shù)為ξ，求ξ的期望．

已知正項(xiàng)數(shù)列{x_n}滿(mǎn)足x_n+

1

xn+1

＜2（n∈N^*）．
（1）證明：x_n+

1

xn

≥2；
（2）證明：x_n＜x_n+1；
（3）證明：

n-1

n

＜x_n＜

n+1

n

．

已知ad≠bc，求證：（a²+b²）（c²+d²）＞（ac+bd）²．

已知f（x）是定義在（-1，1）上的單調(diào)遞增函數(shù)，解不等式：f（t-1）-f（-t）＜0．

如圖，已知OPQ是半徑為

3

，圓心角為

π

3

的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記∠COP=x，矩形ABCD的面積為f（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式，并寫(xiě)出其定義域；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）+f（x+

π

4

）的最大值及相應(yīng)的x值．

△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c．若A，B，C成等差數(shù)列，求證：

c

a+b

+

a

b+c

=1．