如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，BC⊥平面PAB，AB=BC=

1

2

PB，∠APB=30°，M為PB的中點(diǎn)．
（1）求證：PD∥平面AMC；
（2）求銳二面角B-AC-M的余弦值．

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)過點(diǎn)(

3

，

2

2

)，它的離心率為

6

2

，P、Q分別在雙曲線的兩條漸近線上，M是線段PQ中點(diǎn)，|PQ|=2

2

．
（Ⅰ）求雙曲線及其漸近線方程；
（Ⅱ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅲ）過C左焦點(diǎn)F₁的直線l與C相交于點(diǎn)A、B，F(xiàn)₂為C的右焦點(diǎn)，求△ABF₂面積最大時(shí)

F2A

•

F2B

的值．

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（0，4），離心率為

3

5

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求過點(diǎn)（3，0）且斜率為

4

5

的直線被橢圓所截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．

如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率e=

5

5

，過F₁的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，且△MNF₂周長為4

5

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知過橢圓中心，且斜率為k（k≠0）的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB的垂直平分線與橢圓E的一個(gè)交點(diǎn)，若△APB的面積為

40

9

，求k的值．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（2，0），且橢圓C的離心率為

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若動點(diǎn)P在直線x=-1上，過P作直線交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，且

MP

=

PN

，再過P作直線l⊥MN．證明：直線l恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

已知函數(shù)f（x）=x³-x-

x

．
（I）求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）令g（x）=

ax2+ax

f(x)+ x

+lnx，若函數(shù)y=g（x）在（0，

1

e

）內(nèi)有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，對任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求證：g（t）-g（s）＞e+2-

1

e

．

分別過橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）左、右焦點(diǎn)F₁、F₂的動直線l₁、l₂相交于P點(diǎn)，與橢圓E分別交于A、B與C、D不同四點(diǎn)，直線OA、OB、OC、OD的斜率分別為k₁、k₂、k₃、k₄，且滿足k₁+k₂=k₃+k₄，已知當(dāng)l₁與x軸重合時(shí)，|AB|=2

3

，|CD|=

4 3

3

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在定點(diǎn)M，N，使得|PM|+|PN|為定值？若存在，求出M、N點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

求函數(shù)f（x）=

2x-3

x+1

（-2≤x≤2且x≠-1）的值域．

已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

2

，且經(jīng)過點(diǎn)（4，-

10

）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)F₁、F₂為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線C上一點(diǎn)M滿足F₁M⊥F₂M，求△MF₁F₂的面積．

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|，x∈[0，1]，該函數(shù)的最大值是

a2

4

，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．