已知F₁（-c，0）、F₂（c，0）是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點，點M在橢圓E上．
（Ⅰ）若∠F₁MF₂的最大值是

π

2

，求橢圓E的離心率；
（Ⅱ）設直線x=my+c與橢圓E交于P、Q兩點，過P、Q兩點分別作橢圓E的切線l₁，l₂，且l₁與l₂交于點R，試問：當m變化時，點R是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結論；若不是，說明理由．

設非零平面向量

m

，

n

，θ=（

m

，

n

），規(guī)定

m

?

n

=|

m

|×|

n

|sinθ．F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點M，N分別是其上的頂點，右頂點，且

OM

?

ON

=6

2

，離心率e=

1

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F₂的直線交橢圓C于點A，B，求：

OA

?

OB

的取值范圍．

設直線l₁：y=2x與直線l₂：x+y=6交于P點．
（1）當直線m過P點且與直線l₀：x-2y=0垂直時，求直線m的方程；
（2）當直線m過P點且坐標原點O到直線m的距離為2時，求直線m的方程．

已知F₁、F₂分別是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，P是橢圓E上的點，以F₁P為直徑的圓經(jīng)過F₂，

PF1

•

PF2

=

1

16

a2．直線l經(jīng)過F₁，與橢圓E交于A、B兩點，F(xiàn)₂與A、B兩點構成△ABF₂．
（1）求橢圓E的離心率；
（2）設△F₁PF₂的周長為2+

3

，求△ABF₂的面積S的最大值．

如圖，設橢圓C：

x2

a2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁，F(xiàn)₂，短軸的兩個端點分別為A，B，且滿足|

F1A

+

F1B

|=|

F2A

-

F2B

|，橢圓C經(jīng)過點（

2

，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設過點M（

2

3

，0）且斜率為k的動直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，問：在x軸的正半軸上是否存在一個定點T，使得無論直線l如何轉動，以PQ為直徑的圓恒過定點T？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

已知橢圓的對稱軸為坐標軸，左、右兩個焦點分別為F₁、F₂，且拋物線y²=4

3

x與該橢圓有一個共同的焦點，點P在橢圓C上，且PF₂⊥F₁F₂，|PF₁|=

7

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設D（

3

2

，0），過F₂且不垂直于坐標軸的動直線l交橢圓C于A、B兩點，若以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，求直線l的方程．

如圖所示，已知橢圓C₁和拋物線C₂有公共焦點F（1，0），C₁的中心和C₂的頂點都在坐標原點，過點M（4，0）的直線l與拋物線C₂分別相交于A，B兩點．
（Ⅰ）寫出拋物線C₂的標準方程；
（Ⅱ）求證：以AB為直徑的圓過原點；
（Ⅲ）若坐標原點關于直線l的對稱點P在拋物線C₂上，直線l與橢圓C₁相切，求橢圓C₁的標準方程．

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），若橢圓C的一個焦點為F（

2

，0），其短軸上的一個端點到F的距離為

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，點Q滿足

AQ

=

QB

且

NQ

•

AB

=0，其中N為橢圓的下頂點，求直線在y軸上截距的取值范圍．

在學習完統(tǒng)計學知識后，兩位同學對所在年級的1200名同學一次數(shù)學考試成績作抽樣調(diào)查，兩位同學采用簡單隨機抽樣方法抽取100名學生的成績，并將所選的數(shù)學成績制成如統(tǒng)計表，設本次考試的最低期望分數(shù)為90分，優(yōu)等生最低分130分，并且考試成績分數(shù)在[85，90）的學生通過自身努力能達到最低期望分數(shù)．
（Ⅰ）求出各分數(shù)段的頻率并作出頻率分布直方圖；
（Ⅱ）用所抽學生的成績在各個分數(shù)段的頻率表示概率，請估計該校學生數(shù)學成績達到最低期望的學生分數(shù)和優(yōu)等生人數(shù)；
（Ⅲ）設考試成績在[85，90）的學生成績?nèi)缦拢?0，81，83，84，86，89，從分數(shù)在[85，90）的學生中抽取2人出來檢查數(shù)學知識的掌握情況，記所抽取學生中通過自身努力達到最低期望分數(shù)的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

分數(shù)段	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人數(shù)	9	6	12	18	21	16	12	6
頻率

已知動圓過定點（1，0），且與直線x=-1相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）設A、B是軌跡C上兩個不同的點，且OA⊥OB，證明直線AB恒過定點，并求定點的坐標．