如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，AD⊥CE，垂足為D，AC平分∠BAD．
（Ⅰ）求證：直線CE是⊙O的切線；
（Ⅱ）求證：AC²=AB•AD．

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+alnx．
（Ⅰ）當(dāng)a＜0時，若?x＞0，使f（x）≤0成立，求a的取值范圍；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-（a+1）x，a∈（1，e]，證明：對?x₁，x₂∈[1，a]，恒有|g（x₁）-g（x₂）|＜1．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

．
（Ⅰ）過橢圓C的右焦點(diǎn)F且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦 長為1，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過橢圓C右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)P，且

PA

=λ1

AF

，

PB

=λ2

BF

，求λ₁+λ₂的值．

如圖所示是一個幾何體的直觀圖及它的三視圖（其中主視圖為直角梯形，俯視圖為正方形，左視圖為直角三角形，尺寸如圖所示）．

（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）求二面角E-PC-D的大�。�

某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，且每次遇到紅燈的概率都是

2

5

，每次遇到紅燈時停留的時間都是1min．
（Ⅰ）求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時間至多是2min的概率；
（Ⅱ）求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時間X的分布列及期望．

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cos

A+C

2

=

3

3

．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若

BA

•

BC

=2，b=2

2

，求a和c的值．

已知等差數(shù)列a_n的首項(xiàng)a₁及公差d都是整數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，若a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，設(shè)b_n=2ⁿa_n，則b₁+b₂+…+b_n的結(jié)果為．

設(shè)面積為S的平面四邊形的第i條邊的邊長為a_i（i=1，2，3，4），P是該四邊形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到第i條邊的距離記為hi，若

a1

1

=

a2

2

=

a3

3

=

a4

4

=k，則

4

i=1

(ihi=

2S

k

)，類比上述結(jié)論，體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為S_i（i=1，2，3，4），Q是該三棱錐內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)Q到第i個面的距離記為d_i，若

S1

1

=

S2

2

=

S3

3

=

S4

4

=k，則

4

i=1

(idi)等于．

如圖，利用隨機(jī)模擬的方法可以估計(jì)圖中由曲線y=

x2

2

與兩直線x=2及y=0所圍成的陰影部分的面積S：
①先產(chǎn)生兩組0～1的均勻隨機(jī)數(shù)，a=rand （　�。�，b=rand （　　）；
②做變換，令x=2a，y=2b；（3）產(chǎn)生N個點(diǎn)（x，y），并統(tǒng)計(jì)滿足條件y＜

x2

2

的點(diǎn)（x，y）的個數(shù)N₁，已知某同學(xué)用計(jì)算器做模擬試驗(yàn)結(jié)果，當(dāng)N=1000時，N₁=332，則據(jù)此可估計(jì)S的值為．

執(zhí)行圖所示的框圖，如果輸入N=4，則輸出的結(jié)果等于．