Question

(15分)如圖所示，一輕繩吊著粗細(xì)均勻的棒，棒下端離地面高H，上端套著一個(gè)細(xì)環(huán)，棒和環(huán)的質(zhì)量均為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力kmg(k＞1)，斷開(kāi)輕繩，棒和環(huán)自由下落，假設(shè)棒足夠長(zhǎng)，與地面發(fā)生碰撞時(shí)，觸地時(shí)間極短，無(wú)動(dòng)能損失，棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持豎直，空氣阻力不計(jì)，求：

⑴棒第一次與地面碰撞彈起上升過(guò)程中，環(huán)的加速度；
⑵棒與地面第二次碰撞前的瞬時(shí)速度；
⑶從斷開(kāi)輕繩到棒和環(huán)都靜止，摩擦力對(duì)棒和環(huán)做的功分別是多少？

Answer 1

⑴a₁＝(k－1)g，方向豎直向上；⑵v₂＝；⑶W₁＝－mgH，W₂＝

試題分析：⑴設(shè)棒第一次反彈上升過(guò)程中，環(huán)的加速度為a₁，由于k＞1，所以kmg＞mg，由牛頓第二定律得：kmg－mg＝ma₁，解得：a₁＝(k－1)g，方向豎直向上。
⑵在下落的過(guò)程中，棒、環(huán)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，且下落過(guò)程中，棒、環(huán)之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，設(shè)棒第一次落地的速度大小為v₁，由機(jī)械能守恒得：×－0＝2mgH－0，解得：v₁＝
當(dāng)棒觸地反彈時(shí)，環(huán)將繼續(xù)下落，棒、環(huán)之間存在相對(duì)滑動(dòng)，設(shè)此時(shí)棒的加速度為a₂，由牛頓第二定律得：mg＋kmg＝ma₂，解得：a₂＝(k＋1)g，方向豎直向下，即棒減速上升
環(huán)與棒將在空中達(dá)到相同速度v，有：v＝v₁－a₁t＝－v₁＋a₂t
解得：v＝
設(shè)此時(shí)棒上升的高度為h₁，有：v²－v₁²＝－2a₂h₁
此后，棒和環(huán)一起下落，設(shè)與地面碰撞前瞬間速度為v₂，有：v₂²－v²＝2gh₁
解得：v₂＝＝
⑶設(shè)摩擦力對(duì)棒和環(huán)做的功分別為W₁和W₂，整個(gè)過(guò)程中環(huán)與棒的相對(duì)位移為l
對(duì)棒有：mgH＋W₁＝0
對(duì)環(huán)有：mg(H＋l)＋W₂＝0
對(duì)系統(tǒng)有：kmgl＝mg(H＋l)＋mgH
解得：W₁＝－mgH，W₂＝