Question

14．如圖（a）所示，間距為l、電阻不計(jì)的光滑導(dǎo)軌固定在傾角為θ的斜面上．在區(qū)域I內(nèi)有方向垂直于斜面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；在區(qū)域Ⅱ內(nèi)有垂直于斜面向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度B_t的大小隨時(shí)間t變化的規(guī)律如圖（b）所示．t=0時(shí)刻在軌道上端的金屬細(xì)棒ab從如圖位置由靜止開始沿導(dǎo)軌下滑，同時(shí)下端的另一金屬細(xì)棒cd在位于區(qū)域I內(nèi)的導(dǎo)軌上由靜止釋放．在ab棒運(yùn)動(dòng)到區(qū)域Ⅱ的下邊界EF處之前，cd棒始終靜止不動(dòng)，兩棒均與導(dǎo)軌接觸良好．已知cd棒的質(zhì)量為m、電阻為R，ab棒的質(zhì)量、阻值均未知，區(qū)域Ⅱ沿斜面的長度為2l，在t=t_x時(shí)刻（t_x未知）ab棒恰進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，重力加速度為g．求：

（1）通過cd棒電流的方向和區(qū)域I內(nèi)磁場(chǎng)的方向；
（2）當(dāng)ab棒在區(qū)域Ⅱ內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，cd棒消耗的電功率；
（3）ab棒開始下滑的位置離EF的距離；
（4）ab棒開始下滑至EF的過程中回路中產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)楞次定律判斷出ab棒中的電流方向，從而得出通過cd棒中的電流方向，根據(jù)cd棒處于靜止，通過安培力的方向，根據(jù)左手定則判斷出區(qū)域I內(nèi)磁場(chǎng)的方向．
（2）對(duì)cd棒，根據(jù)平衡求出感應(yīng)電流的大小，根據(jù)P=I²R求出當(dāng)ab棒在區(qū)域II內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)cd棒消耗的電功率．
（3）棒ab進(jìn)入II區(qū)域前后回路中的電動(dòng)勢(shì)不變，即磁場(chǎng)變化產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)與導(dǎo)體切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)相等，據(jù)此求出導(dǎo)體棒進(jìn)入II時(shí)速度大小，然后根據(jù)導(dǎo)體棒勻加速下滑的特點(diǎn)即可求出結(jié)果．
（4）回路中電流恒定，根據(jù)Q=EIt可求出結(jié)果．

解答 解：（1）根據(jù)楞次定律知通過cd棒的電流方向 d→c．區(qū)域I內(nèi)磁場(chǎng)方向?yàn)榇怪庇谛泵嫦蛏?br />（2）對(duì)cd棒，根據(jù)平衡條件有：F_安=BIl=mgsinθ
所以通過cd棒的電流大小 I=$\frac{mgsinθ}{Bl}$
當(dāng)ab棒在區(qū)域II內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)cd棒消耗的電功率 P=I²R=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rsi{n}^{2}θ}{{B}^{2}{l}^{2}}$．
（3）ab棒在到達(dá)區(qū)域Ⅱ前做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，a=$\frac{{m}_{ab}gsinθ}{{m}_{ab}}$=gsinθ
cd棒始終靜止不動(dòng)，ab棒在到達(dá)區(qū)域Ⅱ前、后，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不變，則ab棒在區(qū)域Ⅱ中一定做勻速直線運(yùn)動(dòng)
可得：$\frac{△Φ}{△t}$=Blv_t，$\frac{B•2l•l}{{t}_{x}}$=Blgsinθt_x，所以 t_x=$\sqrt{\frac{2l}{gsinθ}}$
ab棒在區(qū)域Ⅱ中做勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度 v_t=gsinθt_x=$\sqrt{2glsinθ}$
則ab棒開始下滑的位置離EF的距離 h=$\frac{1}{2}$at _x²+2l=3l
（4）ab棒在區(qū)域Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t₂=$\frac{2l}{{v}_{t}}$=$\sqrt{\frac{2l}{gsinθ}}$
ab棒從開始下滑至EF的總時(shí)間 t=t_x+t₂=2$\sqrt{\frac{2l}{gsinθ}}$
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=Blv_t=Bl$\sqrt{2glsinθ}$
ab棒從開始下滑至EF的過程中閉合回路中產(chǎn)生的熱量：Q=EIt=4mglsinθ
答：
（1）通過cd棒的電流方向 d→c，區(qū)域I內(nèi)磁場(chǎng)方向?yàn)榇怪庇谛泵嫦蛏希?br />（2）當(dāng)ab棒在區(qū)域Ⅱ內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)cd棒消耗的電功率為$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rsi{n}^{2}θ}{{B}^{2}{l}^{2}}$．
（3）ab棒開始下滑的位置離EF的距離為3l．
（4）ab棒開始下滑至EF的過程中回路中產(chǎn)生的熱量為4mglsinθ

點(diǎn)評(píng) 解決這類問題的基礎(chǔ)是弄清電路結(jié)構(gòu)，正確分析電路中的電流以及安培力的變化情況．關(guān)鍵要抓住隱含的條件：ab棒在到達(dá)區(qū)域Ⅱ前、后，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不變．