(1)集合中元素的特征: , , 。
集合元素的互異性:如:,,求;
(2)集合與元素的關(guān)系用符號(hào),表示。
(3)常用數(shù)集的符號(hào)表示:自然數(shù)集 ;正整數(shù)集 、 ;整數(shù)集 ;有理數(shù)集 、實(shí)數(shù)集 。
(4)集合的表示法: 列舉法 , 描述法 , 韋恩圖 。
注意:區(qū)分集合中元素的形式:如:;;;;;
;
(5)空集是指不含任何元素的集合。(、和的區(qū)別;0與三者間的關(guān)系)
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
注意:條件為,在討論的時(shí)候不要遺忘了的情況。
如:,如果,求的取值。
(1)符號(hào)“”是表示元素與集合之間關(guān)系的,立體幾何中的體現(xiàn) 點(diǎn)與直線(xiàn)(面)的關(guān)系 ;
符號(hào)“”是表示集合與集合之間關(guān)系的,立體幾何中的體現(xiàn) 面與直線(xiàn)(面)的關(guān)系 。
(2);;
(3)對(duì)于任意集合,則:
①;;;
② ; ;
; ;
③ ; ;
(4)①若為偶數(shù),則 ;若為奇數(shù),則 ;
②若被3除余0,則 ;若被3除余1,則 ;若被3除余2,則 ;
(1)若集合中有個(gè)元素,則集合的所有不同的子集個(gè)數(shù)為_(kāi)________,所有真子集的個(gè)數(shù)是__________,所有非空真子集的個(gè)數(shù)是 。
(2)中元素的個(gè)數(shù)的計(jì)算公式為: ;
(3)韋恩圖的運(yùn)用:
若 ;則是的充分非必要條件;
若 ;則是的必要非充分條件;
若 ;則是的充要條件;
若 ;則是的既非充分又非必要條件;
注意:“若,則”在解題中的運(yùn)用,
如:“”是“”的 條件。
步驟:1、假設(shè)結(jié)論反面成立;
2、從這個(gè)假設(shè)出發(fā),推理論證,得出矛盾;
3、由矛盾判斷假設(shè)不成立,從而肯定結(jié)論正確。
矛盾的來(lái)源:1、與原命題的條件矛盾;
2、導(dǎo)出與假設(shè)相矛盾的命題;
3、導(dǎo)出一個(gè)恒假命題。
適用與待證命題的結(jié)論涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼時(shí)。
正面詞語(yǔ) |
等于 |
大于 |
小于 |
是 |
都是 |
至多有一個(gè) |
|||
否定 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||||||||
正面詞語(yǔ) |
至少有一個(gè) |
任意的 |
所有的 |
至多有n個(gè) |
任意兩個(gè) |
||||
否定 |
|
|
|
|
|
||||
(1)映射的概念: (2)一一映射:(3)函數(shù)的概念:
如:若,;問(wèn):到的映射有 個(gè),到的映射有 個(gè);到的函數(shù)有 個(gè),若,則到的一一映射有 個(gè)。
函數(shù)的圖象與直線(xiàn)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 個(gè)。
相同函數(shù)的判斷方法:① ;② (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)
(1)函數(shù)解析式的求法:
①定義法(拼湊):②換元法:③待定系數(shù)法:④賦值法:
(2)函數(shù)定義域的求法:
①,則 ; ②則 ;
③,則 ; ④如:,則 ;
⑤含參問(wèn)題的定義域要分類(lèi)討論;
如:已知函數(shù)的定義域是,求的定義域。
⑥對(duì)于實(shí)際問(wèn)題,在求出函數(shù)解析式后;必須求出其定義域,此時(shí)的定義域要根據(jù)實(shí)際意義來(lái)確定。如:已知扇形的周長(zhǎng)為20,半徑為,扇形面積為,則 ;定義域?yàn)?u> 。
(3)函數(shù)值域的求法:
①配方法:轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),利用二次函數(shù)的特征來(lái)求值;常轉(zhuǎn)化為型如:的形式;
②逆求法(反求法):通過(guò)反解,用來(lái)表示,再由的取值范圍,通過(guò)解不等式,得出的取值范圍;常用來(lái)解,型如:;
④換元法:通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù),化歸思想;
⑤三角有界法:轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù),運(yùn)用三角函數(shù)有界性來(lái)求值域;
⑥基本不等式法:轉(zhuǎn)化成型如:,利用平均值不等式公式來(lái)求值域;
⑦單調(diào)性法:函數(shù)為單調(diào)函數(shù),可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。
⑧數(shù)形結(jié)合:根據(jù)函數(shù)的幾何圖形,利用數(shù)型結(jié)合的方法來(lái)求值域。
求下列函數(shù)的值域:①(2種方法);
②(2種方法);③(2種方法);
函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性
單調(diào)性:定義:注意定義是相對(duì)與某個(gè)具體的區(qū)間而言。
判定方法有:定義法(作差比較和作商比較)
導(dǎo)數(shù)法(適用于多項(xiàng)式函數(shù))
復(fù)合函數(shù)法和圖像法。
應(yīng)用:比較大小,證明不等式,解不等式。
奇偶性:定義:注意區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),比較f(x) 與f(-x)的關(guān)系。f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為偶函數(shù);
f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)為奇函數(shù)。
判別方法:定義法, 圖像法 ,復(fù)合函數(shù)法
應(yīng)用:把函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。
周期性:定義:若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x滿(mǎn)足:f(x+T)=f(x),則T為函數(shù)f(x)的周期。
其他:若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x滿(mǎn)足:f(x+a)=f(x-a),則2a為函數(shù)f(x)的周期.
應(yīng)用:求函數(shù)值和某個(gè)區(qū)間上的函數(shù)解析式。
常見(jiàn)圖像變化規(guī)律:(注意平移變化能夠用向量的語(yǔ)言解釋?zhuān)桶聪蛄科揭坡?lián)系起來(lái)思考)
平移變換 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意:(ⅰ)有系數(shù),要先提取系數(shù)。如:把函數(shù)y=f(2x)經(jīng)過(guò) 平移得到函數(shù)y=f(2x+4)的圖象。
(ⅱ)會(huì)結(jié)合向量的平移,理解按照向量(m,n)平移的意義。
對(duì)稱(chēng)變換 y=f(x)→y=f(-x),關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)
y=f(x)→y=-f(x) ,關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)
y=f(x)→y=f|x|,把x軸上方的圖象保留,x軸下方的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)
y=f(x)→y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留,然后將y軸右邊部分關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。(注意:它是一個(gè)偶函數(shù))
伸縮變換:y=f(x)→y=f(ωx),
y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具體參照三角函數(shù)的圖象變換。
一個(gè)重要結(jié)論:若f(a-x)=f(a+x),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng);
如:的圖象如圖,作出下列函數(shù)圖象:
(1);(2);
(3);(4);
(5);(6);
(7);(8);
(9)。
(1)定義:
(2)函數(shù)存在反函數(shù)的條件: ;
(3)互為反函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系: ;
(4)求反函數(shù)的步驟:
①將看成關(guān)于的方程,解出,若有兩解,要注意解的選擇;
②將互換,得;③寫(xiě)出反函數(shù)的定義域(即的值域)。
(5)互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系: ;
(6)原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性;
(7)原函數(shù)為奇函數(shù),則其反函數(shù)仍為奇函數(shù);原函數(shù)為偶函數(shù),它一定不存在反函數(shù)。
如:求下列函數(shù)的反函數(shù):;;
(1)一元一次函數(shù):,當(dāng)時(shí),是增函數(shù);當(dāng)時(shí),是減函數(shù);
(2)一元二次函數(shù):
一般式:;對(duì)稱(chēng)軸方程是 ;頂點(diǎn)為 ;
兩點(diǎn)式:;對(duì)稱(chēng)軸方程是 ;與軸的交點(diǎn)為 ;
頂點(diǎn)式:;對(duì)稱(chēng)軸方程是 ;頂點(diǎn)為 ;
①一元二次函數(shù)的單調(diào)性:
當(dāng)時(shí): 為增函數(shù); 為減函數(shù);當(dāng)時(shí): 為增函數(shù); 為減函數(shù);
②二次函數(shù)求最值問(wèn)題:首先要采用配方法,化為的形式,
Ⅰ、若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在給定的區(qū)間上,則
時(shí):在頂點(diǎn)處取得最小值,最大值在距離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得;
時(shí):在頂點(diǎn)處取得最大值,最小值在距離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得;
Ⅱ、若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在給定的區(qū)間上,則
時(shí):最小值在距離對(duì)稱(chēng)軸較近的端點(diǎn)處取得,最大值在距離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得;
時(shí):最大值在距離對(duì)稱(chēng)軸較近的端點(diǎn)處取得,最小值在距離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得;
有三個(gè)類(lèi)型題型:
(1)頂點(diǎn)固定,區(qū)間也固定。如:
(2)頂點(diǎn)含參數(shù)(即頂點(diǎn)變動(dòng)),區(qū)間固定,這時(shí)要討論頂點(diǎn)橫坐標(biāo)何時(shí)在區(qū)間之內(nèi),何時(shí)在區(qū)間之外。
(3)頂點(diǎn)固定,區(qū)間變動(dòng),這時(shí)要討論區(qū)間中的參數(shù).
③二次方程實(shí)數(shù)根的分布問(wèn)題: 設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根為;則:
根的情況 |
|
|
|
等價(jià)命題 |
在區(qū)間上有兩根 |
在區(qū)間上有兩根 |
在區(qū)間或上有一根 |
充要條件 |
|
|
|
注意:若在閉區(qū)間討論方程有實(shí)數(shù)解的情況,可先利用在開(kāi)區(qū)間上實(shí)根分布的情況,得出結(jié)果,在令和檢查端點(diǎn)的情況。
(3)反比例函數(shù):
(4)指數(shù)函數(shù):
指數(shù)運(yùn)算法則: ; ; 。
指數(shù)函數(shù):y= (a>o,a≠1),圖象恒過(guò)點(diǎn)(0,1),單調(diào)性與a的值有關(guān),在解題中,往往要對(duì)a分a>1和0<a<1兩種情況進(jìn)行討論,要能夠畫(huà)出函數(shù)圖象的簡(jiǎn)圖。
(5)對(duì)數(shù)函數(shù):
指數(shù)運(yùn)算法則: ; ; ;
對(duì)數(shù)函數(shù):y= (a>o,a≠1) 圖象恒過(guò)點(diǎn)(1,0),單調(diào)性與a的值有關(guān),在解題中,往往要對(duì)a分a>1和0<a<1兩種情況進(jìn)行討論,要能夠畫(huà)出函數(shù)圖象的簡(jiǎn)圖。
注意:
(1)與的圖象關(guān)系是 ;
(2)比較兩個(gè)指數(shù)或?qū)?shù)的大小的基本方法是構(gòu)造相應(yīng)的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù),若底數(shù)不相同時(shí)轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的指數(shù)或?qū)?shù),還要注意與1比較或與0比較。
(3)已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384061_1/image125.gif">,求的取值范圍。
已知函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384061_1/image125.gif">,求的取值范圍。
定義域: ;值域: ; 奇偶性: ; 單調(diào)性: 是增函數(shù); 是減函數(shù)。
抽象函數(shù)的性質(zhì)所對(duì)應(yīng)的一些具體特殊函數(shù)模型:
①正比例函數(shù)
②; ;
③; ??;
④ ;
1.求導(dǎo)法則:
(c)/=0 這里c是常數(shù)。即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)值為0。
(xn)/=nxn-1 特別地:(x)/=1 (x-1)/= ()/=-x-2 (f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x) (k•f(x))/= k•f/(x)
2.導(dǎo)數(shù)的幾何物理意義:
k=f/(x0)表示過(guò)曲線(xiàn)y=f(x)上的點(diǎn)P(x0,f(x0))的切線(xiàn)的斜率。
V=s/(t) 表示即時(shí)速度。a=v/(t) 表示加速度。
3.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用:
①求切線(xiàn)的斜率。
②導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系
㈠與為增函數(shù)的關(guān)系。
能推出為增函數(shù),但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增,但,∴是為增函數(shù)的充分不必要條件。
㈡時(shí),與為增函數(shù)的關(guān)系。
若將的根作為分界點(diǎn),因?yàn)橐?guī)定,即摳去了分界點(diǎn),此時(shí)為增函數(shù),就一定有?!喈?dāng)時(shí),是為增函數(shù)的充分必要條件。
㈢與為增函數(shù)的關(guān)系。
為增函數(shù),一定可以推出,但反之不一定,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384061_1/image140.gif">,即為或。當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù),函數(shù)不具有單調(diào)性?!?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384061_1/image140.gif">是為增函數(shù)的必要不充分條件。
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì),也是高中階段研究的重點(diǎn),我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系,用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問(wèn)題,都一律用開(kāi)區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間,避免討論以上問(wèn)題,也簡(jiǎn)化了問(wèn)題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問(wèn)題,要謹(jǐn)慎處理。
㈣單調(diào)區(qū)間的求解過(guò)程,已知 (1)分析 的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù) (3)解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間(4)解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間。
我們?cè)趹?yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)一定要搞清以下三個(gè)關(guān)系,才能準(zhǔn)確無(wú)誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡(jiǎn)單的分析,前提條件都是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。
③求極值、求最值。
注意:極值≠最值。函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值為極大值和f(a) 、f(b)中最大的一個(gè)。最小值為極小值和f(a) 、f(b)中最小的一個(gè)。
f/(x0)=0不能得到當(dāng)x=x0時(shí),函數(shù)有極值。
但是,當(dāng)x=x0時(shí),函數(shù)有極值 f/(x0)=0
判斷極值,還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明。
4.導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問(wèn)題:
(1)刻畫(huà)函數(shù)(比初等方法精確細(xì)微);
(2)同幾何中切線(xiàn)聯(lián)系(導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線(xiàn)的切線(xiàn));
(3)應(yīng)用問(wèn)題(初等方法往往技巧性要求較高,而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡(jiǎn)便)等關(guān)于次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題屬于較難類(lèi)型。
2.關(guān)于函數(shù)特征,最值問(wèn)題較多,所以有必要專(zhuān)項(xiàng)討論,導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡(jiǎn)便。
3.導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問(wèn)題是一種重要類(lèi)型,也是高考中考察綜合能力的一個(gè)方向,應(yīng)引起注意。
注意:(1)特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法,此法尤其適用于不成立的命題。
(2)注意課本上的幾個(gè)性質(zhì),另外需要特別注意:
①若ab>0,則。即不等式兩邊同號(hào)時(shí),不等式兩邊取倒數(shù),不等號(hào)方向要改變。
②如果對(duì)不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)代數(shù)式,要注意它的正負(fù)號(hào),如果正負(fù)號(hào)未定,要注意分類(lèi)討論。
③圖象法:利用有關(guān)函數(shù)的圖象(指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)的圖象),直接比較大小。
④中介值法:先把要比較的代數(shù)式與“0”比,與“1”比,然后再比較它們的大小
若,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))
基本變形:① ; ;
②若,則,
基本應(yīng)用:①放縮,變形;
②求函數(shù)最值:注意:①一正二定三取等;②積定和小,和定積大。
當(dāng)(常數(shù)),當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí), ;
當(dāng)(常數(shù)),當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí), ;
常用的方法為:拆、湊、平方;
如:①函數(shù)的最小值 。
②若正數(shù)滿(mǎn)足,則的最小值 。
注意:上述等號(hào)“=”成立的條件;
(1)設(shè),則(當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào))
(2)(當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào));(當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào))
(3); ;
(1)比較法:作差比較:
作差比較的步驟:
⑴作差:對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)(或式)作差。
⑵變形:對(duì)差進(jìn)行因式分解或配方成幾個(gè)數(shù)(或式)的完全平方和。
⑶判斷差的符號(hào):結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)。
注意:若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難,可以通過(guò)它們的平方差來(lái)比較大小。
(2)綜合法:由因?qū)Ч?/p>
(3)分析法:執(zhí)果索因。基本步驟:要證……只需證……,只需證……
(4)反證法:正難則反。
(5)放縮法:將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。
放縮法的方法有:
⑴添加或舍去一些項(xiàng),如:;
⑵將分子或分母放大(或縮小)
⑶利用基本不等式,如:;
⑷利用常用結(jié)論:
Ⅰ、;
Ⅱ、 ; (程度大)
Ⅲ、 ; (程度小)
(6)換元法:換元的目的就是減少不等式中變量,以使問(wèn)題化難為易,化繁為簡(jiǎn),常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如:
已知,可設(shè);
已知,可設(shè)();
已知,可設(shè);
已知,可設(shè);
(7)構(gòu)造法:通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來(lái)證明不等式;
(1)一元一次不等式:
Ⅰ、:⑴若,則 ;⑵若,則 ;
Ⅱ、:⑴若,則 ;⑵若,則 ;
(2)一元二次不等式: 一元二次不等式二次項(xiàng)系數(shù)小于零的,同解變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零;注:要對(duì)進(jìn)行討論:
(5)絕對(duì)值不等式:若,則 ; ;
注意:(1).幾何意義:: ;: ;
(2)解有關(guān)絕對(duì)值的問(wèn)題,考慮去絕對(duì)值,去絕對(duì)值的方法有:
⑴對(duì)絕對(duì)值內(nèi)的部分按大于、等于、小于零進(jìn)行討論去絕對(duì)值;①若 則 ;②若則 ;③若則 ;
(3).通過(guò)兩邊平方去絕對(duì)值;需要注意的是不等號(hào)兩邊為非負(fù)值。
(4).含有多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式可用“按零點(diǎn)分區(qū)間討論”的方法來(lái)解。
(6)分式不等式的解法:通解變形為整式不等式;
⑴ ;⑵ ;
⑶ ;⑷ ;
(7)不等式組的解法:分別求出不等式組中,每個(gè)不等式的解集,然后求其交集,即是這個(gè)不等式組的解集,在求交集中,通常把每個(gè)不等式的解集畫(huà)在同一條數(shù)軸上,取它們的公共部分。
(8)解含有參數(shù)的不等式:
解含參數(shù)的不等式時(shí),首先應(yīng)注意考察是否需要進(jìn)行分類(lèi)討論.如果遇到下述情況則一般需要討論:
①不等式兩端乘除一個(gè)含參數(shù)的式子時(shí),則需討論這個(gè)式子的正、負(fù)、零性.
②在求解過(guò)程中,需要使用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí),則需對(duì)它們的底數(shù)進(jìn)行討論.
③在解含有字母的一元二次不等式時(shí),需要考慮相應(yīng)的二次函數(shù)的開(kāi)口方向,對(duì)應(yīng)的一元二次方程根的狀況(有時(shí)要分析△),比較兩個(gè)根的大小,設(shè)根為(或更多)但含參數(shù),要分、、討論。
本章是高考命題的主體內(nèi)容之一,應(yīng)切實(shí)進(jìn)行全面、深入地復(fù)習(xí),并在此基礎(chǔ)上,突出解決下述幾個(gè)問(wèn)題:
(1)等差、等比數(shù)列的證明須用定義證明,值得注意的是,若給出一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和,則其通項(xiàng)為若滿(mǎn)足則通項(xiàng)公式可寫(xiě)成.
(2)數(shù)列計(jì)算是本章的中心內(nèi)容,利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式及其性質(zhì)熟練地進(jìn)行計(jì)算,是高考命題重點(diǎn)考查的內(nèi)容.
(3)解答有關(guān)數(shù)列問(wèn)題時(shí),經(jīng)常要運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想.善于使用各種數(shù)學(xué)思想解答數(shù)列題,是我們復(fù)習(xí)應(yīng)達(dá)到的目標(biāo).
①函數(shù)思想:等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式都可以看作是的函數(shù),所以等差等比數(shù)列的某些問(wèn)題可以化為函數(shù)問(wèn)題求解.
②分類(lèi)討論思想:用等比數(shù)列求和公式應(yīng)分為及;已知求時(shí),也要進(jìn)行分類(lèi);
③整體思想:在解數(shù)列問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢(shì),運(yùn)用整體思想求解.
(4)在解答有關(guān)的數(shù)列應(yīng)用題時(shí),要認(rèn)真地進(jìn)行分析,將實(shí)際問(wèn)題抽象化,轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,再利用有關(guān)數(shù)列知識(shí)和方法來(lái)解決.解答此類(lèi)應(yīng)用題是數(shù)學(xué)能力的綜合運(yùn)用,決不是簡(jiǎn)單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關(guān)的等比數(shù)列的第幾項(xiàng)不要弄錯(cuò).
1、 數(shù)列的定義及表示方法:
2、 數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù):
3、 有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列:
4、 遞增(減)、擺動(dòng)、循環(huán)數(shù)列:
5、 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an:
6、 數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn:
7、 等差數(shù)列、公差d、等差數(shù)列的結(jié)構(gòu):
8、 等比數(shù)列、公比q、等比數(shù)列的結(jié)構(gòu):
9、一般數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系:an=
10、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)) 當(dāng)d≠0時(shí),an是關(guān)于n的一次式;當(dāng)d=0時(shí),an是一個(gè)常數(shù)。
11、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:Sn= Sn= Sn=
當(dāng)d≠0時(shí),Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0;當(dāng)d=0時(shí)(a1≠0),Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。
12、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式: an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng),an≠0)
13、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:當(dāng)q=1時(shí),Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式);
當(dāng)q≠1時(shí),Sn= Sn=
14、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數(shù)列。
15、等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,則
16、等比數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,則
17、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數(shù)列。
18、兩個(gè)等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。
19、兩個(gè)等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列
{anbn}、、仍為等比數(shù)列。
20、等差數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。
21、等比數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。
22、三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法:a-d,a,a+d;四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法:a/q,a,aq;
四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法:a/q3,a/q,aq,aq3 (為什么?)
24、{an}為等差數(shù)列,則 (c>0)是等比數(shù)列。
25、{bn}(bn>0)是等比數(shù)列,則{logcbn} (c>0且c1) 是等差數(shù)列。
26. 在等差數(shù)列中:
(1)若項(xiàng)數(shù)為,則
(2)若數(shù)為則, ,
27. 在等比數(shù)列中:
(1) 若項(xiàng)數(shù)為,則
(2)若數(shù)為則,
28、分組法求數(shù)列的和:如an=2n+3n
29、錯(cuò)位相減法求和:如an=(2n-1)2n
30、裂項(xiàng)法求和:如an=1/n(n+1)
31、倒序相加法求和:如an=
32、求數(shù)列{an}的最大、最小項(xiàng)的方法:
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函數(shù)f(n)的增減性 如an=
33、在等差數(shù)列中,有關(guān)Sn 的最值問(wèn)題--常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解:
(1)當(dāng) >0,d<0時(shí),滿(mǎn)足 的項(xiàng)數(shù)m使得取最大值.
(2)當(dāng) <0,d>0時(shí),滿(mǎn)足 的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。
在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。
1.基本概念:
向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線(xiàn)向量、相等向量。
2. 加法與減法的代數(shù)運(yùn)算:
(1).
(2)若a=(),b=()則ab=().
向量加法與減法的幾何表示:平行四邊形法則、三角形法則。
以向量=、=為鄰邊作平行四邊形ABCD,則兩條對(duì)角線(xiàn)的向量=+,=-,=-
且有︱︱-︱︱≤︱︱≤︱︱+︱︱.
向量加法有如下規(guī)律:+=+(交換律); +(+c)=(+ )+c (結(jié)合律);
+0= +(-)=0.
3.實(shí)數(shù)與向量的積:實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量。
(1)︱︱=︱︱.︱︱;
(2) 當(dāng)>0時(shí),與的方向相同;當(dāng)<0時(shí),與的方向相反;當(dāng)=0時(shí),=0.
(3)若=(),則.=().
兩個(gè)向量共線(xiàn)的充要條件:
(1) 向量b與非零向量共線(xiàn)的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使得b=.
(2) 若=(),b=()則∥b.
平面向量基本定理:
若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),,使得=e1+ e2.
4.P分有向線(xiàn)段所成的比:
設(shè)P1、P2是直線(xiàn)上兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是上不同于P1、P2的任意一點(diǎn),則存在一個(gè)實(shí)數(shù)使=,叫做點(diǎn)P分有向線(xiàn)段所成的比。
當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段上時(shí),>0;當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段或的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),<0;
分點(diǎn)坐標(biāo)公式:若=;的坐標(biāo)分別為(),(),();則 (≠-1), 中點(diǎn)坐標(biāo)公式:.
5. 向量的數(shù)量積:
(1)向量的夾角:
已知兩個(gè)非零向量與b,作=, =b,則∠AOB= ()叫做向量與b的夾角。
(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積:
已知兩個(gè)非零向量與b,它們的夾角為,則.b=︱︱.︱b︱cos.
其中︱b︱cos稱(chēng)為向量b在方向上的投影.
(3)向量的數(shù)量積的性質(zhì):
若=(),b=()則e.=.e=︱︱cos (e為單位向量);
⊥b.b=0(,b為非零向量);︱︱=;
cos==.
(4) 向量的數(shù)量積的運(yùn)算律:
.b=b.;().b=(.b)=.(b);(+b).c=.c+b.c.
6.主要思想與方法:
本章主要樹(shù)立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀(guān)點(diǎn),以數(shù)代形,以形觀(guān)數(shù),用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問(wèn)題,特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系,正確運(yùn)用共線(xiàn)向量和平面向量的基本定理,計(jì)算向量的模、兩點(diǎn)的距離、向量的夾角,判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具,它往往會(huì)與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來(lái)進(jìn)行綜合考查,是知識(shí)的交匯點(diǎn)。
1.平面的基本性質(zhì):掌握三個(gè)公理及推論,會(huì)說(shuō)明共點(diǎn)、共線(xiàn)、共面問(wèn)題。
能夠用斜二測(cè)法作圖。
2.空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系:平行、相交、異面的概念;
會(huì)求異面直線(xiàn)所成的角和異面直線(xiàn)間的距離;證明兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn)一般用反證法。
3.直線(xiàn)與平面
①位置關(guān)系:平行、直線(xiàn)在平面內(nèi)、直線(xiàn)與平面相交。
②直線(xiàn)與平面平行的判斷方法及性質(zhì),判定定理是證明平行問(wèn)題的依據(jù)。
③直線(xiàn)與平面垂直的證明方法有哪些?
④直線(xiàn)與平面所成的角:關(guān)鍵是找它在平面內(nèi)的射影,范圍是{00.900}
⑤三垂線(xiàn)定理及其逆定理:每年高考試題都要考查這個(gè)定理. 三垂線(xiàn)定理及其逆定理主要用于證明垂直關(guān)系與空間圖形的度量.如:證明異面直線(xiàn)垂直,確定二面角的平面角,確定點(diǎn)到直線(xiàn)的垂線(xiàn).
4.平面與平面
(1)位置關(guān)系:平行、相交,(垂直是相交的一種特殊情況)
(2)掌握平面與平面平行的證明方法和性質(zhì)。
(3)掌握平面與平面垂直的證明方法和性質(zhì)定理。尤其是已知兩平面垂直,一般是依據(jù)性質(zhì)定理,可以證明線(xiàn)面垂直。
(4)兩平面間的距離問(wèn)題→點(diǎn)到面的距離問(wèn)題→
(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法:
①定義法,一般要利用圖形的對(duì)稱(chēng)性;一般在計(jì)算時(shí)要解斜三角形;
②垂線(xiàn)、斜線(xiàn)、射影法,一般要求平面的垂線(xiàn)好找,一般在計(jì)算時(shí)要解一個(gè)直角三角形。
③射影面積法,一般是二面交的兩個(gè)面只有一個(gè)公共點(diǎn),兩個(gè)面的交線(xiàn)不容易找到時(shí)用此法。
5.棱柱
(1)掌握棱柱的定義、分類(lèi),理解直棱柱、正棱柱的性質(zhì)。
(2)掌握長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)。
(3)平行六面體→直平行六面體→長(zhǎng)方體→正四棱柱→正方體這些幾何體之間的聯(lián)系和區(qū)別,以及它們的特有性質(zhì)。
(4)S側(cè)=各側(cè)面的面積和。思考:對(duì)于特殊的棱柱,又如何計(jì)算?
(5)V=Sh 特殊的棱柱的體積如何計(jì)算?
6.棱錐
1.棱錐的定義、正棱錐的定義(底面是正多邊形,頂點(diǎn)在底面上的射影是底面的中心)
2.相關(guān)計(jì)算:S側(cè)=各側(cè)面的面積和 ,V=Sh
7.球的相關(guān)概念:S球=4πR2 V球=πR3 球面距離的概念
8.正多面體:掌握定義和正多面體的種數(shù)(是哪幾個(gè)?)
。
掌握歐拉公式:V+F-E=2 其中:V頂點(diǎn)數(shù) E棱數(shù) F面數(shù)
9.會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的命題。如兩直線(xiàn)異面。
主要思想與方法:
1.計(jì)算問(wèn)題:
(1)空間角的計(jì)算步驟:一作、二證、三算
異面直線(xiàn)所成的角 范圍:0°<θ≤90° 方法:①平移法;②補(bǔ)形法.
直線(xiàn)與平面所成的角 范圍:0°≤θ≤90° 方法:關(guān)鍵是作垂線(xiàn),找射影.
二面角 方法:①定義法;②三垂線(xiàn)定理及其逆定理;③垂面法. 注:二面角的計(jì)算也可利用射影面積公式S′=Scosθ來(lái)計(jì)算
(2)空間距離(1)兩點(diǎn)之間的距離.(2)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.(3)點(diǎn)到平面的距離.
(4)兩條平行線(xiàn)間的距離.(5)兩條異面直線(xiàn)間的距離.(6)平面的平行直線(xiàn)與平面之間的距離.
(7)兩個(gè)平行平面之間的距離.
七種距離都是指它們所在的兩個(gè)點(diǎn)集之間所含兩點(diǎn)的距離中最小的距離.七種距離之間有密切聯(lián)系,有些可以相互轉(zhuǎn)化,如兩條平行線(xiàn)的距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,平行線(xiàn)面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離.
在七種距離中,求點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn),求兩條異面直線(xiàn)間的距離是難點(diǎn).
求點(diǎn)到平面的距離:(1)直接法,即直接由點(diǎn)作垂線(xiàn),求垂線(xiàn)段的長(zhǎng).(2)轉(zhuǎn)移法,轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離.(3)體積法.
求異面直線(xiàn)的距離:(1)定義法,即求公垂線(xiàn)段的長(zhǎng).(2)轉(zhuǎn)化成求直線(xiàn)與平面的距離.(3)函數(shù)極值法,依
據(jù)是兩條異面直線(xiàn)的距離是分別在兩條異面直線(xiàn)上兩點(diǎn)間距離中最小的.
2.平面圖形的翻折,要注意翻折前后的長(zhǎng)度、角度、位置的變化,翻折前后在同一個(gè)三角形中的角度、長(zhǎng)度不變
3.在解答立體幾何的有關(guān)問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意使用轉(zhuǎn)化的思想:
①利用構(gòu)造矩形、直角三角形、直角梯形將有關(guān)棱柱、棱錐的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面圖形去解決.
②將空間圖形展開(kāi)是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為平面圖形問(wèn)題的一種常用方法.
③補(bǔ)法把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形,把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單圖形.
④利用三棱錐體積的自等性,將求點(diǎn)到平面的距離等問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求三棱錐的高.
⑤平行轉(zhuǎn)化
⑥垂直轉(zhuǎn)化
(一)直線(xiàn)與圓知識(shí)要點(diǎn)
1.直線(xiàn)的傾斜角與斜率k=tgα,直線(xiàn)的傾斜角α一定存在,范圍是[0,π],但斜率不一定存在。牢記下列圖像。
斜率的求法:依據(jù)直線(xiàn)方程 依據(jù)傾斜角 依據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)
2.直線(xiàn)方程的幾種形式,能根據(jù)條件,合理的寫(xiě)出直線(xiàn)的方程;能夠根據(jù)方程,說(shuō)出幾何意義。
3.兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系,能夠說(shuō)出平行和垂直的條件。會(huì)判斷兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系。(斜率相等還有可能重合)
4.兩條直線(xiàn)的交角:區(qū)別到角和夾角兩個(gè)不同概念。
5.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式。
6.會(huì)用一元不等式表示區(qū)域。能夠解決簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。
7.曲線(xiàn)與方程的概念,會(huì)由幾何條件列出曲線(xiàn)方程。
8.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-a)2+(y-b)2=r2
圓的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0 注意表示圓的條件。
圓的參數(shù)方程:
掌握?qǐng)A的幾何性質(zhì),會(huì)判斷直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系。會(huì)求圓的相交弦、切線(xiàn)問(wèn)題。
圓錐曲線(xiàn)方程
(二)圓錐曲線(xiàn)
1.橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
2.雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程:
3.拋物線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程:
直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn):
注意點(diǎn):
(1)注意防止由于“零截距”和“無(wú)斜率”造成丟解
(2)要學(xué)會(huì)變形使用兩點(diǎn)間距離公式,當(dāng)已知直線(xiàn)的斜率 時(shí),公式變形為或;當(dāng)已知直線(xiàn)的傾斜角時(shí),還可以得到或
(3)靈活使用定比分點(diǎn)公式,可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.
(4)會(huì)在任何條件下求出直線(xiàn)方程.
(5)注重運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想研究平面圖形的性質(zhì)
解析幾何中的一些常用結(jié)論:
1.直線(xiàn)的傾斜角α的范圍是[0,π)
2.直線(xiàn)的傾斜角與斜率的變化關(guān)系:當(dāng)傾斜角是銳角是,斜率k隨著傾斜角α的增大而增大。當(dāng)α是鈍角時(shí),k與α同增減。
3.截距不是距離,截距相等時(shí)不要忘了過(guò)原點(diǎn)的特殊情形。
4.兩直線(xiàn):L1 A1x+B1y+C1=0 L2: A2x+B2y+C2=0 L1⊥L2A1A2+B1B2=0
5.兩直線(xiàn)的到角公式:L1到L2的角為θ,tanθ=
夾角為θ,tanθ=|| 注意夾角和到角的區(qū)別
6.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,兩平行直線(xiàn)間距離的求法。
7.有關(guān)對(duì)稱(chēng)的一些結(jié)論
① 點(diǎn)(a,b)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)、直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是
(a,-b),(-a,b),(-a,-b),(b,a)
② 如何求點(diǎn)(a,b)關(guān)于直線(xiàn)Ax+By+C=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)
③ 直線(xiàn)Ax+By+C=0關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)、直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程分別是什么,關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程有時(shí)什么?
④ 如何處理與光的入射與反射問(wèn)題?
8.曲線(xiàn)f(x,y)=0關(guān)于下列點(diǎn)和線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)方程為:
(1)點(diǎn)(a.b)
(2)x軸
(3)y軸
(4)原點(diǎn)
(5)直線(xiàn)y=x
(6)直線(xiàn)y=-x
(7)直線(xiàn)x=a
9.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的判別轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系。
點(diǎn)P(x0,y0),圓的方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.
如果(x0-a)2+(y0-b)2>r2點(diǎn)P(x0,y0)在圓外;
如果 (x0-a)2+(y0-b)2<r2點(diǎn)P(x0,y0)在圓內(nèi);
如果 (x0-a)2+(y0-b)2=r2點(diǎn)P(x0,y0)在圓上。
10.圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程:點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=r2上,那么過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)方程為:x0x+y0y=r2.
11.過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn),一定有兩條,如果只求出了一條,那么另外一條就是與x軸垂直的直線(xiàn)。
12.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,通常轉(zhuǎn)化為圓心距與半徑的關(guān)系,或者利用垂徑定理,構(gòu)造直角三角形解決弦長(zhǎng)問(wèn)題。d>r相離 d=r相切 d<r相交
13.圓與圓的位置關(guān)系,經(jīng)常轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的關(guān)系。設(shè)兩圓的圓心距為d,兩圓的半徑分別為r,R
d>r+R兩圓相離 d=r+R兩圓相外切
|R-r|<d<r+R兩圓相交 d=|R-r|兩圓相內(nèi)切
d<|R-r|兩圓內(nèi)含 d=0,兩圓同心。
14.兩圓相交弦所在直線(xiàn)方程的求法:
圓C1的方程為:x2+y2+D1x+E1y+C1=0.
圓C2的方程為:x2+y2+D2x+E2y+C2=0.
把兩式相減得相交弦所在直線(xiàn)方程為:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0
15.圓上一定到某點(diǎn)或者某條直線(xiàn)的距離的最大、最小值的求法。
16.焦半徑公式:在橢圓=1中,F(xiàn)1、F2分別左右焦點(diǎn),P(x0,y0)是橢圓是一點(diǎn),則:(1)|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0
(2)三角形PF1F2的面積如何計(jì)算
17.圓錐曲線(xiàn)中到焦點(diǎn)的距離問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離。
18.直線(xiàn)y=kx+b和圓錐曲線(xiàn)f(x,y)=0交于兩點(diǎn)P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)
則弦長(zhǎng)P1P2=
19.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的求法(注意焦點(diǎn)的位置)已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程如何設(shè)雙曲線(xiàn)的方程。
20.拋物線(xiàn)中與焦點(diǎn)有關(guān)的一些結(jié)論:(要記憶)
解題思路與方法:
高考試題中的解析幾何的分布特點(diǎn)是除在客觀(guān)題中有4個(gè)題目外,就是在解答題中有一個(gè)壓軸題.也就是解析幾何沒(méi)有中檔題.且解析幾何壓軸題所考查的內(nèi)容是求軌跡問(wèn)題、直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系、關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的最值問(wèn)題等.其中最重要的是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系.在復(fù)習(xí)過(guò)程中要注意下述幾個(gè)問(wèn)題:
(1)在解答有關(guān)圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題時(shí),首先要考慮圓錐曲線(xiàn)焦點(diǎn)的位置,對(duì)于拋物線(xiàn)還應(yīng)同時(shí)注意開(kāi)口方向,這是減少或避免錯(cuò)誤的一個(gè)關(guān)鍵.
(2)在考查直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系或兩圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系時(shí),可以利用方程組消元后得到二次方程,用判別式進(jìn)行判斷.但對(duì)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行時(shí),直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行時(shí),不能使用判別式,為避免繁瑣運(yùn)算并準(zhǔn)確判斷特殊情況,此時(shí)要注意用好分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.畫(huà)出方程所表示的曲線(xiàn),通過(guò)圖形求解. 當(dāng)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交時(shí):涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題,常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式);涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題,常用“差分法”設(shè)而不求,將弦所在直線(xiàn)的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái),相互轉(zhuǎn)化.同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件,尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化,往往就能事半功倍.
(3)求圓錐曲線(xiàn)方程通常使用待定系數(shù)法,若能據(jù)條件發(fā)現(xiàn)符合圓錐曲線(xiàn)定義時(shí),則用定義求圓錐曲線(xiàn)方程非常簡(jiǎn)捷.在處理與圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)有關(guān)問(wèn)題,也可反用圓錐曲線(xiàn)定義簡(jiǎn)化運(yùn)算或證明過(guò)程.
一般求已知曲線(xiàn)類(lèi)型的曲線(xiàn)方程問(wèn)題,可采用“先定形,后定式,再定量”的步驟.
定形--指的是二次曲線(xiàn)的焦點(diǎn)位置與對(duì)稱(chēng)軸的位置.
定式--根據(jù)“形”設(shè)方程的形式,注意曲線(xiàn)系方程的應(yīng)用,如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí),可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0).
定量--由題設(shè)中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系,通過(guò)解方程得到量的大小.
(4)在解與焦點(diǎn)三角形(橢圓、雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱(chēng)為焦點(diǎn)三角形)有關(guān)的命題時(shí),一般需使用正余弦定理、和分比定理及圓錐曲線(xiàn)定義.
(5)要熟練掌握一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理在求弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦、定比分點(diǎn)弦、弦對(duì)定點(diǎn)張直角等方面的應(yīng)用.
(6)求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容之一,它是各種知識(shí)的綜合運(yùn)用,具有較大的靈活性,求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的實(shí)質(zhì)是將“曲線(xiàn)”化成“方程”,將“形”化成“數(shù)”,使我們通過(guò)對(duì)方程的研究來(lái)認(rèn)識(shí)曲線(xiàn)的性質(zhì). 求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常用方法有:直接法、定義法、幾何法、代入轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法、交軌法等,解題時(shí),注意求軌跡的步驟:建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍.
(7)參數(shù)方程,請(qǐng)大家熟練掌握公式,后用化歸的思想轉(zhuǎn)化到普通方程即可求解.
1.計(jì)數(shù)原理
①加法原理:N=n1+n2+n3+…+nM (分類(lèi)) ②乘法原理:N=n1.n2.n3.…nM (分步)
2.排列(有序)與組合(無(wú)序)
Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)= Ann =n!
Cnm =
Cnm= Cnn-m Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k•k!=(k+1)!-k!
3.排列組合混合題的解題原則:先選后排,先分再排
排列組合題的主要解題方法:優(yōu)先法:以元素為主,應(yīng)先滿(mǎn)足特殊元素的要求,再考慮其他元素. 以位置為主考慮,即先滿(mǎn)足特殊位置的要求,再考慮其他位置.
捆綁法(集團(tuán)元素法,把某些必須在一起的元素視為一個(gè)整體考慮)
插空法(解決相間問(wèn)題) 間接法和去雜法等等
在求解排列與組合應(yīng)用問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意:
(1)把具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問(wèn)題;
(2)通過(guò)分析確定運(yùn)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理;
(3)分析題目條件,避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏;
(4)列出式子計(jì)算和作答.
經(jīng)常運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是:
①分類(lèi)討論思想;②轉(zhuǎn)化思想;③對(duì)稱(chēng)思想.
4.二項(xiàng)式定理:
①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn
特別地:(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn
②通項(xiàng)為第r+1項(xiàng): Tr+1= Cnran-rbr 作用:處理與指定項(xiàng)、特定項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)等有關(guān)問(wèn)題。
③主要性質(zhì)和主要結(jié)論:對(duì)稱(chēng)性Cnm=Cnn-m
最大二項(xiàng)式系數(shù)在中間。(要注意n為奇數(shù)還是偶數(shù),答案是中間一項(xiàng)還是中間兩項(xiàng))
所有二項(xiàng)式系數(shù)的和:Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n
奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和=偶數(shù)項(xiàng)而是系數(shù)的和
Cn0+Cn2+Cn4+ Cn6+ Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+ Cn7+ Cn9+…=2n -1
5.注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)(字母項(xiàng)的系數(shù),指定項(xiàng)的系數(shù)等,指運(yùn)算結(jié)果的系數(shù))的區(qū)別,在求某幾項(xiàng)的系數(shù)的和時(shí)注意賦值法的應(yīng)用。
6.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用:解決有關(guān)近似計(jì)算、整除問(wèn)題,運(yùn)用二項(xiàng)展開(kāi)式定理并且結(jié)合放縮法證明與指數(shù)有關(guān)的不等式。
1.必然事件 P(A)=1,不可能事件 P(A)=0,隨機(jī)事件的定義 0<P(A)<1。
2.等可能事件的概率:(古典概率)P(A)= 理解這里m、n的意義。
互斥事件(A、B互斥,即事件A、B不可能同時(shí)發(fā)生,這時(shí)P(A•B)=0)P(A+B)=P(A)+ P(B)
對(duì)立事件(A、B對(duì)立,即事件A、B不可能同時(shí)發(fā)生,但A、B中必然有一個(gè)發(fā)生。這時(shí)P(A•B)=0)P(A)+ P(B)=1
獨(dú)立事件:(事件A、B的發(fā)生相互獨(dú)立,互不影響)P(A•B)=P(A) • P(B)
獨(dú)立重復(fù)事件(貝努里概型)
Pn(K)=Cnkpk(1-p)k 表示事件A在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生了k次的概率。
P為在一次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率。
特殊:令k=0 得:在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A沒(méi)有發(fā)生的概率為Pn(0)=Cn0p0(1-p)n =(1-p)n
令k=n得:在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A全部發(fā)生的概率為Pn(n)=Cnnpn(1-p)0 =pn
3.統(tǒng)計(jì)
總體、個(gè)體、樣本、,樣本個(gè)體、樣本容量的定義;
抽樣方法:1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣:包括隨機(jī)數(shù)表法,標(biāo)簽法;2系統(tǒng)抽樣 3分層抽樣。
樣本平均數(shù):
樣本方差:S2 =[(x1-)2+(x2-)2+ (x3-)2+…+(xn-)2]
樣本標(biāo)準(zhǔn)差:s= 作用:估計(jì)總體的穩(wěn)定程度
理解頻率直方圖的意義,會(huì)用樣本估計(jì)總體的期望值和方差,用樣本頻率估計(jì)總體分布。
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