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33.曲線有極小值,當(dāng)處有極大值,且在x=1處切線的斜率為.
(1)求;
(2)曲線上是否存在一點(diǎn)P,使得y=的圖象關(guān)于點(diǎn)P中心對(duì)稱?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo),并給出證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:f′(x)=3ax2+2bx+c ∵當(dāng)x=1±時(shí) f(x)有極小值及極大值
∴f′(1±)=0 即1±為3ax2+2bx+c=0兩根
∴b=-3a , c=-6a
又∵f(x)在x=1處切線的斜率為
(2)假設(shè)存在P(x0, y0),使得f(x)的圖象關(guān)于P中心對(duì)稱,
則f(x0+x)+f(x0-x)=2y0
即-(x0+x)3+(x0+x)2+x0+x-(x0-x)3+(x0-x)2+x0-x=2y0
化解得
∵對(duì)于任意x∈R等式都成立
∴x0=1, y0=.易知P(1,)在曲線y=f(x)上.
∴曲線上存在P(1,)使得f(x)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱
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