31．已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2. 　 (Ⅰ)求PC與平面PBD所成的角； 　 (Ⅱ)求點D到平面PAC的距離； 　 (Ⅲ)在線段PB上是否存在一點E，使PC⊥平面ADE？ 　　　　 若存在，確定E點的位置，若不存在，說明理由. 解：　 (Ⅰ)設AC與BD相交于點O，連接PO。 ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD。 又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC。 ∵BD∩PD=D，　 ∴AC⊥平面PBD。 ∴∠CPO為PC與平面PBD所成的角。 ∵PD=AD=2，則OC=，PC=2。 　 在Rt△POC中，∠POC=90°， ∴ ∴PC與平面PBD所成的角為30° 　(Ⅱ)過D做DF⊥PO于F，∵AC⊥平面PBD， DF平面PBD， ∴AC⊥DF。 　 又∵PO∩AC=O， ∴DF⊥平面PAC。 在Rt△PDO中，∠PDO=90°， ∴PO.DF=PD.DO?！　?∴　 (Ⅲ)假設存在E點，使PC⊥平面ADE. 　　　 過E在平面PBC內做EM∥PC交BC于點M， 　　　 連接AE、AM. 　　　 由AD⊥平面PDC可得AD⊥PC.　　 ∵PC∥EM，∴AD⊥EM. 　　　 要使PC⊥平面ADE，即使EM⊥平面ADE.　　 即使EM⊥AE. 設BM=，則EM=，EB=.　 在△AEB中由余弦定理得AE2=4+3－4 　　　 在Rt△ABM中，∠ABM=90°.　 ∴AM2=4+. 　　　 ∵EM⊥AE，∴4+=4+3－4+2.　 ∴－=0. ∵，∴=1. ∴E為PB的中點，即E為PB的中點時，PC⊥平面ADE.　

32．如圖，平面PAD平面ABCD，PAD是正三角形， ABCD是矩形，M是AB的中點，PC與平面ABCD成角。 (1)　　　 求的值； (2)　　　 求二面角P-MC-D的大??； (3)　　　 當AD的長為多少時，點D到平面PMC的距離為2。 解：(1)取AD中點H，則，面PAD平面ABCD， 面ABCD，PC與面ABCD所成的角為。 設AD=a，則，，。　 (2)連結HM，由∽可得：。 ，由三垂線定理得， 是二面角P-MC-D的平面角。 ，。 二面角P-MC-D的平面角為　 由可得：AD=。

33．曲線有極小值，當處有極大值，且在x=1處切線的斜率為. (1)求； (2)曲線上是否存在一點P，使得y=的圖象關于點P中心對稱？若存在，請求出點P坐標，并給出證明；若不存在，請說明理由. 解:f′(x)=3ax2+2bx+c　　 ∵當x=1±時　 f(x)有極小值及極大值 ∴f′(1±)=0　 即1±為3ax2+2bx+c=0兩根 ∴b=－3a , c=－6a　 又∵f(x)在x=1處切線的斜率為 (2)假設存在P(x0, y0)，使得f(x)的圖象關于P中心對稱， 則f(x0+x)+f(x0－x)=2y­0　　　　　　　　　　　　　　　　　　 即－(x0+x)3+(x0+x)2+x0+x－(x0－x)3+(x0－x)2+x0－x=2y0 化解得 ∵對于任意x∈R等式都成立 ∴x0=1, y0=.易知P(1，)在曲線y=f(x)上. ∴曲線上存在P(1，)使得f(x)的圖象關于中心對稱

34．已知函數，且函數的圖像關于原點對稱，其圖像在x=3處的切線方程為8x-y-18=0。 (1)　　　 求的解析式； (2)　　　　　 是否存在區(qū)間[a，b]，使得函數g(x)的定義域和值域均為[a，b]，且解析式與的解析式相同？若存在，求出這樣的一個區(qū)間[a，b]；若不存在，請說明理由。 解：(1)的圖像關于原點對稱，恒成立，即恒成立，。， 又的圖像在x=3處的切線方程為， 即，據題意得：解得：， 　 (2)由得x=0或。 又，由得，且當或時，，當時。 所以，函數在和上遞增，在上遞減。 于是，函數在上的極大值和極小值分別為 ，而， 故存在這樣的區(qū)間[a，b]，其中滿足條件的一個區(qū)間　

35．已知一次函數f(x)的圖像關于直線x-y=0對稱的圖像為C，且f(-1)=0，若點(n+1，在曲線C上，并有。 (1)　　　 求曲線C的方程； (2)　　　 求數列的通項公式； (3)　　　 設，若恒成立，求實數M的取值范圍。 解：(1)設f(x)=kx+b(k0)，則曲線C的方程為。 f(-1)=0,-k+b=0　　 ① 又點(n+1，在曲線C上，即(2，1)在曲線上。 　　 ②　　　　 由①②得：k=b=1 　　　　　C：x-y-1=0。 (2)點(n+1，在曲線C上，，而。 ， (3)。 關于n單調增。。 故恒成立，則

37．如圖所示，已知A，B為橢圓和雙曲線的公共頂點。P，Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的動點，且有，設AP，BP，AQ，BQ的斜率分別為。 (Ⅰ)求證；； (Ⅱ)設分別為橢圓和雙曲線的右焦點， 若 PF2∥QF1　 ，求的值。 解(Ⅰ)：設點P，Q的坐標分別為 則，即 所以 類似地 設O為原點，則 ∵　 ∴， ∴三點O，P，Q共線 ∴，由①②得 (Ⅱ)證明：因點Q在橢圓上，有 由知 即，從而……③ 又點P在雙曲線上，有…………④ 由③④解得 因，∴，故 所以 由①得 同理 另一方面 類似地 所以

38．對數列，規(guī)定為數列的一階差分數列，其中。對正整數k，規(guī)定為的k階差分數列，其中。 (1)　　　 若數列首項，且滿足，求數列的通項公式； (2)　　　 對(1)中的數列，是否存在等差數列，使得對一切正整數都成立？若存在，求數列的通項公式；若不存在，請說明理由； (3)　　　 令，設，若恒成立，求最小的正整數M的值。 解(1)而可得 ，，是首項為，公差為的等差數列， ， (2)即： 而　　　 =故可得 存在等差數列,使對一切正整數都成立。 (3)由(2)知1　　 ……… ① ……… ② ①-②得： ，遞增 ，且。 滿足條件的最小的正整數M的值為6

39．過P(1，0)做曲線的切線，切點為Q1，設Q1在軸上的投影為P1，又過P1做曲線C的切線，切點為Q2，設Q2在軸上的投影為P2，…，依次下去得到一系列點Q1、Q2、Q3、…、Qn的橫坐標為求證： (Ⅰ)數列是等比數列； 　 (Ⅱ)； 　 (Ⅲ) 解：(Ⅰ)若切點是， 則切線方程為 當時，切線過點P(1，0)即得 當時，切線過點即得 ∴數列是首項為，公比為的等比數列. …6分 (Ⅱ) 　 (Ⅲ)記， 則 兩式相減

40．已知函數　. (1)求及的值； (2)是否存在自然數，使對一切都成立，若存在，求出自然數的最小值；不存在，說明理由； (3)利用(2)的結論來比較和　的大?。? 解(1)；． (2)假設存在自然數,使對一切都成立. 由,得 ，　 當時，不等式顯然不成立．　　　　　　 當時，， 當n=1時，顯然,　　　　　　　　　　　　　　 當時，=　成立，則 對一切都成立．　 所以存在最小自然數?！　? (3)． 由()，所以，，……，， 相乘得　，∴　　　 成立．