題目列表(包括答案和解析)
18.(本小題滿分14分)
請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六
棱柱,上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如右
圖所示)。試問當帳篷的頂點O到底面中心的距離
為多少時,帳篷的體積最大?
[考點分析:本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的基礎(chǔ)知識,以及運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力]
解:設(shè),則。
由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為:,(單位:)
故底面正六邊形的面積為:=,(單位:)
帳篷的體積為:
(單位:)
求導(dǎo)得。
令,解得(不合題意,舍去)或。
當時,,為增函數(shù);
當時,,為減函數(shù)。
∴當時,最大。
答:當時,帳篷的體積最大,最大體積為。
17.(本小題滿分12分,第一小問滿分5分,第二小問滿分7分)
已知三點P(5,2)、(-6,0)、(6,0)。
(Ⅰ)求以、為焦點且過點P的橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設(shè)點P、、關(guān)于直線y=x的對稱點分別為、、,求以、為焦點且過點的雙曲線的標準方程。
[考點分析:本題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標準方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和基本運算能力]
[解](I)由題意,可設(shè)所求橢圓的標準方程為+,其半焦距。
, ∴,
,故所求橢圓的標準方程為+;
(II)點P(5,2)、(-6,0)、(6,0)關(guān)于直線y=x的對稱點分別為:
、(0,-6)、(0,6)
設(shè)所求雙曲線的標準方程為-,由題意知半焦距,
, ∴,
,故所求雙曲線的標準方程為-。
(11)在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,則AC= ▲
解:利用正弦定理
點評:本題主要考查正弦定理的應(yīng)用
(12)設(shè)變量x、y滿足約束條件,則的最大值為 ▲
解:根據(jù)線性約束條件畫出可行域(圖略),顯然在(3,4)處取得最大值18
點評:本題主要考查線性規(guī)劃的基礎(chǔ)知識。
(13)今有2個紅球、3個黃球、4個白球,同色球不加以區(qū)分,將這9個球排成一列有 ▲ 種不同的方法(用數(shù)字作答)。
解:由題意,
點評:本題主要考查不全相異元素的全排列
(14)= ▲
解
點評:本題主要考查三角函數(shù)的畫簡與求值
(15)對正整數(shù)n,設(shè)曲線在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為,則數(shù)列的前n項和的公式是 ▲
解:,令x=0,求出切線與y軸交點的縱坐標為,所以,則數(shù)列的前n項和
點評:本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,再與數(shù)列知識結(jié)合起來,解決相關(guān)問題。
(16)不等式的解集為 ▲
解:
綜上:
點評:本題主要考查對數(shù)不等式的解法
(1)已知,函數(shù)為奇函數(shù),則a=
(A)0 (B)1 (C)-1 (D)±1
解:法一:由函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù),則, 即,則a=0,選A
法二:得:,則a=0,選A
點評:主要考查奇函數(shù)的定義和性質(zhì)
(2)圓的切線方程中有一個是
(A)x-y=0 (B)x+y=0 (C)x=0 (D)y=0
解:圓心為(1,),半徑為1,故此圓必與y軸(x=0)相切,選C
點評:本題主要考查圓的定義及直線與圓的位置關(guān)系
(3)某人5次上班途中所花的時間(單位:分鐘)分別為x,y,10,11,9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,方差為2,則|x-y|的值為
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解: 由平均數(shù)公式為10,得則;又由于方差為2,則得,所以有,故選(D)
點評:本題主要考查平均數(shù)與方差的定義等統(tǒng)計方面的基礎(chǔ)知識
(4)為了得到函數(shù)的圖像,只需把函數(shù)的圖像上所有的點
(A)向左平移個單位長度,再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)
(B)向右平移個單位長度,再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)
(C)向左平移個單位長度,再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)
(D)向右平移個單位長度,再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)
解:根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換法則易得:把向左平移個單位長度得,再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)故選(C)
點評:本題主要考查形如的三角函數(shù)圖像的變換
(5)的展開式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項數(shù)是
(A)0 (B)2 (C)4 (D)6
解:展開式通項為,若展開式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪,即所以,選(B)
點評:本題主要考查二項式定理的相關(guān)知識
(6)已知兩點M(-2,0)、N(2,0),點P為坐標平面內(nèi)的動點,滿足。0,則動點P(x,y)的軌跡方程為
(A) (B) (C) (D)
解:由題意
,所以有
即:,故選(B)
點評:本題主要考查點的軌跡方程的求法
(7)若A、B、C為三個集合,,則一定有
(A) (B) (C) (D)
解:由知,,故選(A)
點評:本題主要考查集合間關(guān)系的運算
(8)設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù),則下列等式中不恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
解:因為,所以(A)恒成立;
在(B)兩側(cè)同時乘以得
所以(B)恒成立;
(C)中,當a>b時,恒成立,a<b時,不成立;
(D)中,分子有理化得恒成立,故選(C)
點評:本題主要考查不等式的相關(guān)知識
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(C)3個 (D)無窮多個
解:法一:本題可以轉(zhuǎn)化為一個正方形可以有多少個內(nèi)接正方形,顯然有無窮多個
法二:通過計算,顯然兩個正四棱錐的高均為,考查放入正方體后,面ABCD所在的截面,顯然其面積是不固定的,取值范圍是,所以該幾何體的體積取值范圍是
點評:本題主要考查學(xué)生能否迅速構(gòu)造出一些常見的幾何模型,并不是以計算為主
(10)右圖中有一個信號源和五個接收器。接收器與信號源在同一個串聯(lián)線路中時,就能接收到信號,否則就不能接收到信號。若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組,將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組,再把所有六組中每組的兩個接線點用導(dǎo)線連接,則這五個接收器能同時接收到信號的概率是
(A) (B)
(C) (D)
解:由題意,左端的六個接線點隨機地平均分成三組有種分法,同理右端的六個接線點也隨機地平均分成三組有種分法;要五個接收器能同時接收到信號,則需五個接收器與信號源串聯(lián)在同一個線路中,即五個接收器的一個全排列,再將排列后的第一個元素與信號源左端連接,最后一個元素與信號源右端連接,所以符合條件的連接方式共有種,所求的概率是,故選(D)
點評:本題要求學(xué)生能夠熟練運用排列組合知識解決計數(shù)問題,并進一步求得概率問題,其中隱含著平均分組問題。
21. (本小題滿分14分)
已知橢圓C1:,拋物線C2:,且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點.
(Ⅰ)當AB⊥軸時,求、的值,并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上;
(Ⅱ)是否存在、的值,使拋物線C2的焦點恰在直線AB上?若存在,求出符合條件的、的值;若不存在,請說明理由.
2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)
20. (本小題滿分14分)
對1個單位質(zhì)量的含污物體進行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:)為0.8,要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙:兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)?sub>(1≤a≤3).設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是(),用質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是,其中是該物體初次清洗后的清潔度.
(Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少;
(Ⅱ)若采用方案乙,當為某定值時,如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最少?并討論取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響.
19. (本小題滿分14分)
已知函數(shù),數(shù)列{}滿足:
證明:(ⅰ);(ⅱ).
18. (本小題滿分14分)
如圖4,已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2,AB=4.
(Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角;
(Ⅲ)求點P到平面QAD的距離.
17.(本小題滿分12分)
某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對5家小型煤礦進行安全檢查(簡稱安檢).若安檢不合格,則必須進行整改.若整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格,則強行關(guān)閉.設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的,且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5, 整改后安檢合格的概率是0.8,計算(結(jié)果精確到0.01):
(Ⅰ)恰好有兩家煤礦必須整改的概率;
(Ⅱ)平均有多少家煤礦必須整改;
(Ⅲ)至少關(guān)閉一家煤礦的概率.
16.(本小題滿分12分)
如圖3,D是直角△ABC斜邊BC上一點,AB=AD,記∠CAD=,∠ABC=.
(Ⅰ)證明 ;
(Ⅱ)若AC=DC,求的值.
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