3．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．則_____________．

2．已知函數(shù)的定義域和值域都是，則實(shí)數(shù)a的值是　 ________

1．函數(shù)的定義域是____________________．

補(bǔ)充：⑴=是以(,)為頂點(diǎn)、對(duì)稱軸平行于y軸、開口向上的拋物線(如圖);它的單調(diào)區(qū)間是(-,]與[,+ );它在(-,]上是減函數(shù)，在[,+ )上是增函數(shù). 　

證明：設(shè)<,則

－=--5(-)

=(+-5) (-)

∵<,∴+<5，-<0，

∴－>0,即 > ..

∴=-5+6在(-,]上是減函數(shù).

類似地，可以證明在[,+)上是增函數(shù).

⑵=-+9的圖象是以(0,9)為頂點(diǎn)、軸為對(duì)稱軸、開口向下的一條拋物線(如圖)；它的單調(diào)區(qū)間是(-,0]與[0,+)，它在(-,0]上是增函數(shù)，在[0,+)上是減函數(shù).

證明：設(shè)<0,則－=-+=(+) (-)

∵<0,∴+<0，->0，

∴－<0,即<

.∴=9-在(-,0]上是增函數(shù).

類似地，可以證明在[0,+)上是減函數(shù).

⒉根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：⑴設(shè),是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且<；⑵作差－，并將此差式變形(要注意變形的程度)；⑶判斷－的正負(fù)(要注意說(shuō)理的充分性)；⑷根據(jù)－的符號(hào)確定其增減性.

答案：的單調(diào)區(qū)間有[-2,-1]，[-1,0]，[0,1]，[1,2]；在區(qū)間[-2,-1]，[0,1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[-1,0]，[1,2]上是減函數(shù).

的單調(diào)區(qū)間有[-,-]，[-,]，[, ]；在區(qū)間[-,-]，[，]上是減函數(shù)，在區(qū)間[-，]上是增函數(shù).

說(shuō)明：要了解函數(shù)在某一區(qū)間是否具有單調(diào)性，從圖象上進(jìn)行觀察是一種常用而又較為粗略的方法，嚴(yán)格地說(shuō)，它需要根據(jù)增(減)函數(shù)的定義進(jìn)行證明，下面舉例說(shuō)明.

2判斷函數(shù)在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論.

解：設(shè),∈R，且<，

∵－=(-3+2)-(-3+2)=3(-),

又<,∴－>0,即 > .

∴在R上是減函數(shù).

3判斷函數(shù)=在(-,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)并證明你的結(jié)論.

解：設(shè),∈(-，0)，且<，

∵－=－==,

由,∈(-，0)，得>0,

又由<,得－>0 ,于是－>0,即 > .

∴= 在(0,+ )上是減函數(shù).

能否說(shuō)函數(shù)= 在(-，+)上是減函數(shù)？

答：不能. 因?yàn)?sub>=0不屬于= 的定義域.

說(shuō)明：通過(guò)觀察圖象，對(duì)函數(shù)是否具有某種性質(zhì)，作出猜想，然后通過(guò)推理的辦法，證明這種猜想的正確性，是發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題的一種常用數(shù)學(xué)方法.

4 ⑴ 判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由.

⑵ 課本P60練習(xí)：4.

解：⑴設(shè),∈R，且<,

則－=(k+b)-(k+b)=k(-).

若k>0，又<,∴－<0,即 <

.∴在R上是增函數(shù).

若k<0，又<,∴－>0,即 > .

∴在R上是減函數(shù).

⑵設(shè),∈(0,+)，且<，

∵－=(+1)-(+1)= -=(+) (-)

　∵0<<,∴+>0，-<0，

∴－<0,即<，

∴=+1在(0,+)上是增函數(shù).

例1 如圖6是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說(shuō)出的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù).

解：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中在區(qū)間[-5，-2)，[1，3)上是減函數(shù)，在區(qū)間[-2，1)，[3，5]上是增函數(shù).

說(shuō)明：函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，對(duì)于單獨(dú)的一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒(méi)有增減變化，所以不存在單調(diào)性問(wèn)題；另外，中學(xué)階段研究的主要是連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù)，對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)來(lái)說(shuō)，只要在開區(qū)間上單調(diào)，它在閉區(qū)間上也就單調(diào)，因此，在考慮它的單調(diào)區(qū)間時(shí)，包括不包括端點(diǎn)都可以；還要注意，對(duì)于在某些點(diǎn)上不連續(xù)的函數(shù)，單調(diào)區(qū)間不包括不連續(xù)點(diǎn).

例2 證明函數(shù)在R上是增函數(shù).

證明：設(shè)是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且<，則

－=(3+2)-(3+2)=3(－),

由<x,得－<0 ,于是－<0,即 <.

∴在R上是增函數(shù).

例3 證明函數(shù)在(0,+)上是減函數(shù).

證明：設(shè),是(0,+)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且<，

則－=－=,

由,∈(0,+ )，得>0,

又由<,得－>0 ,于是－>0,即>

∴在(0,+ )上是減函數(shù).

例4．討論函數(shù)在(-2,2)內(nèi)的單調(diào)性.

解：∵，對(duì)稱軸

∴若,則在(-2,2)內(nèi)是增函數(shù)；

若則在(-2,a)內(nèi)是減函數(shù),在[a,2]內(nèi)是增函數(shù)

若,則在(-2,2)內(nèi)是減函數(shù).

⒈ 增函數(shù)與減函數(shù)

定義：對(duì)于函數(shù)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，⑴若當(dāng)<時(shí)，都有<,則說(shuō)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)(如圖3)；⑵若當(dāng)<時(shí)，都有>,則說(shuō)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)(如圖4).

說(shuō)明：函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的.有的函數(shù)在一些區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上不是增函數(shù).例如函數(shù)(圖1)，當(dāng)∈[0,+)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)∈(-,0)時(shí)是減函數(shù).

⒉ 單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

若函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說(shuō)函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.此時(shí)也說(shuō)函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).

在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的.

說(shuō)明：⑴函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集；

⑵應(yīng)是該區(qū)間內(nèi)任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)，忽略需要任意取值這個(gè)條件，就不能保證函數(shù)是增函數(shù)(或減函數(shù))，例如，圖5中，在那樣的特定位置上，雖然使得>，但顯然此圖象表示的函數(shù)不是一個(gè)單調(diào)函數(shù)；

⑶除了嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)外，還有不嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，它的定義類似上述的定義，只要將上述定義中的“<或>, ”改為“ 或,”即可；

⑷定義的內(nèi)涵與外延：

內(nèi)涵是用自變量的大小變化來(lái)刻劃函數(shù)值的變化情況；

外延①一般規(guī)律：自變量的變化與函數(shù)值的變化一致時(shí)是單調(diào)遞增，自變量的變化與函數(shù)值的變化相對(duì)時(shí)是單調(diào)遞減.

②幾何特征：在自變量取值區(qū)間上，若單調(diào)函數(shù)的圖象上升，則為增函數(shù)，圖象下降則為減函數(shù).

⒈ 復(fù)習(xí)：我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)圖象的畫法.為了研究函數(shù)的性質(zhì)，我們按照列表、描點(diǎn)、連線等步驟先分別畫函數(shù)和的圖象. 的圖象如圖1，的圖象如圖2.

⒉ 引入：從函數(shù)的圖象(圖1)看到：

圖象在軸的右側(cè)部分是上升的，也就是說(shuō)，當(dāng)在區(qū)間[0，+)上取值時(shí)，隨著的增大,相應(yīng)的值也隨著增大，即如果取∈[0，+)，得到=,=,那么當(dāng)<時(shí)，有<.

這時(shí)我們就說(shuō)函數(shù)==在[0,+ )上是增函數(shù).

圖象在軸的左側(cè)部分是下降的，也就是說(shuō)，

當(dāng)在區(qū)間(-，0)上取值時(shí)，隨著的增大，

相應(yīng)的值反而隨著減小，即如果取∈(-，0)，得到=,=,那么當(dāng)<時(shí)，有>.

這時(shí)我們就說(shuō)函數(shù)==在(-,0)上是減函數(shù).

函數(shù)的這兩個(gè)性質(zhì)，就是今天我們要學(xué)習(xí)討論的.