3. 在棱長為a的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，體對角線DB₁與面對角線BC₁所成的角是　　　 ，它們的距離是　　 .

2. 兩個正方形ABCD、ABEF所在的平面互相垂直，則異面直線AC和BF所成角的大小為　　 　．

[例1]在正方體ABCD-ABCD中,O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD、DC的中點，則直線OM(　　 ).

A .是AC和MN的公垂線.　 B .垂直于AC但不垂直于MN.

C .垂直于MN，但不垂直于AC.　 D .與AC、MN都不垂直.

錯解:B.

錯因：學(xué)生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影.

正解：A.　

[例2]如圖，已知在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點，G,H分別是BC,CD上的點,且,求證:直線EG,FH,AC相交于一點.

錯解：證明：、F分別是AB,AD的中點,

∥BD,EF=BD,

又, GH∥BD,GH=BD,

　　 四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點T,

,F分別是AD.AC與FH交于一點.

直線EG,FH,AC相交于一點

正解：證明：、F分別是AB,AD的中點,

　 ∥BD,EF=BD,

又,

　　 GH∥BD,GH=BD,

四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點T,

平面ABC,FH平面ACD,

T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,

,直線EG,FH,AC相交于一點T.

[例3]判斷：若a,b是兩條異面直線，P為空間任意一點，則過P點有且僅有一個平面與a,b都平行.

錯解：認(rèn)為正確.

錯因：空間想像力不夠.忽略P在其中一條線上，或a與P確定平面恰好與b平行，此時就不能過P作平面與a平行.

正解：假命題．

　[例4] 如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，G，H，F(xiàn)．求證：E，F(xiàn)，G，H四點必定共線(在同一條直線上)． 　分析：先確定一個平面，然后證明相關(guān)直線在這個平面內(nèi)，最后證明四點共線． 　證明 ∵ AB//CD， AB，CD確定一個平面β． 　又∵AB ∩α＝E，ABβ， Eα，Eβ， 　即 E為平面α與β的一個公共點． 同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點．

∵ 兩個平面有公共點，它們有且只有一條通過公共點的公共直線， ∴ E，F(xiàn)，G，H四點必定共線． 　點　評：在立體幾何的問題中，證明若干點共線時，先證明這些點都是某兩平面的公共點，而后得出這些點都在二平面的交線上的結(jié)論．

[例5]如圖，已知平面α，β，且α∩β＝．設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求證：AB，CD，共點(相交于一點)． 　 分析：AB，CD是梯形ABCD的兩條腰，必定相交于一點M，只要證明M在上，而是兩個平面α，β的交線，因此，只要證明M∈α，且M∈β即可．

證明： ∵ 梯形ABCD中，AD∥BC， 　∴AB，CD是梯形ABCD的兩條腰． 　∴ AB，CD必定相交于一點， 　設(shè) AB ∩CD＝M． 　又∵ ABα，CDβ，∴ M∈α，且M∈β． 　∴ M∈α∩β． 　又∵ α∩β＝，∴ M∈， 　即 AB，CD，共點．

　點　評：證明多條直線共點時，與證明多點共線是一樣的．

　[例6]已知：a，b，c，d是不共點且兩兩相交的四條直線，求證：a，b，c，d共面． 　 分析：弄清楚四條直線不共點且兩兩相交的含義：四條直線不共點，包括有三條直線共點的情況；兩兩相交是指任何兩條直線都相交．在此基礎(chǔ)上，根據(jù)平面的性質(zhì)，確定一個平面，再證明所有的直線都在這個平面內(nèi)．

證明 1º若當(dāng)四條直線中有三條相交于一點，不妨設(shè)a，b，c相交于一點　A　 ∴ 直線d和A確定一個平面α．

　又設(shè)直線d與a，b，c分別相交于E，F(xiàn)，G， 則 A，E，F(xiàn)，G∈α． ∵ A，E∈α，A，E∈a， ∴ aα． 同理可證 bα，cα． ∴ a，b，c，d在同一平面α內(nèi)． 2º當(dāng)四條直線中任何三條都不共點時，如圖． ∵ 這四條直線兩兩相交， 則設(shè)相交直線a，b確定一個平面α． 設(shè)直線c與a，b分別交于點H，K， 則 H，K∈α． 又∵ H，K∈c，∴ cα． 同理可證 dα． ∴ a，b，c，d四條直線在同一平面α內(nèi)．

點　評：證明若干條線(或若干個點)共面的一般步驟是：首先由題給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證明其余的線(或點)均在這個平面內(nèi)．本題最容易忽視“三線共點”這一種情況．因此，在分析題意時，應(yīng)仔細(xì)推敲問題中每一句話的含義．

[例7] 在立方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中， 　(1)找出平面AC的斜線BD₁在平面AC內(nèi)的射影； 　(2)直線BD₁和直線AC的位置關(guān)系如何？ 　(3)直線BD₁和直線AC所成的角是多少度？

解：(1)連結(jié)BD, 交AC于點O .

(2)BD₁和AC是異面直線.

(3)過O作BD₁的平行線交DD₁于點M，連結(jié)MA、MC，則∠MOA或其補(bǔ)角即為異面直線AC和BD₁所成的角.

不難得到MA＝MC，而O為AC的中點，因此MO⊥AC，即∠MOA＝90°， ∴異面直線BD₁與AC所成的角為90°.

[例8] 已知：在直角三角形ABC中，A為直角，PA⊥平面ABC，BD⊥PC，垂足為D，求證：AD⊥PC 證明：∵　PA ⊥平面ABC∴　PA⊥BA 　又∵　BA⊥AC ∴　BA⊥平面PAC 　∴　AD是BD在平面PAC內(nèi)的射影 　又∵　BD⊥PC　 ∴　AD⊥PC.(三垂線定理的逆定理) 四、典型習(xí)題導(dǎo)練

1．如圖, P是△ABC所在平面外一點，連結(jié)PA、PB、PC后，在包括AB、BC、CA的六條棱所在的直線中，異面直線的對數(shù)為(　 )

　 A.2對　 B.3對　 C.4對　 D.6對

5．異面直線的證明一般用反證法、異面直線的判定方法：如圖，如果b,A且A,a,則a與b異面.

4．異面直線的距離是指夾在兩異面直線之間公垂線段的長度.求兩條異面直線的距離關(guān)鍵是找到它們的公垂線.

3．異面直線的公垂線要求和兩條異面直線垂直并且相交，

2．異面直線所成的角是指經(jīng)過空間任意一點作兩條分別和異面的兩條直線平行的直線所成的銳角(或直角).一般通過平移后轉(zhuǎn)化到三角形中求角，注意角的范圍.

1．異面直線是指不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點.強(qiáng)調(diào)任何一個平面.

5.　　　　　 反證法.會用反證法證明一些簡單的問題.

4.　　　　　 異面直線.異面直線所成的角；兩條異面直線互相垂直的概念；異面直線的公垂線及距離.