(湖南)棱長(zhǎng)為的正方體的個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線(xiàn)被球截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為

．(安徽文)把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線(xiàn)折成直二面角，折成直二面角后，在四點(diǎn)所在的球面上，與兩點(diǎn)之間的球面距離為

(江西)如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，則以下命題中，錯(cuò)誤的命題是

點(diǎn)是的垂心

垂直平面

的延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)

直線(xiàn)和所成角為

(天津)如圖，在斜三棱柱中，

，，，

側(cè)面與底面所成的二面角為，

分別是棱、的中點(diǎn).

求與底面所成的角；

證明：∥平面；

求經(jīng)過(guò)四點(diǎn)的球的體積.

將正方形折成正四棱柱的側(cè)面，正方形的對(duì)角線(xiàn)被折成折線(xiàn)，則

為定值　　　　

有一個(gè)長(zhǎng)方體形的水泥構(gòu)件，其中，，，

現(xiàn)在小螞蟻要從點(diǎn)沿表面到放有食物的點(diǎn)，則小螞蟻需走的最短路線(xiàn)長(zhǎng)為

已知體積為的正三棱錐的外接球的半徑是，且滿(mǎn)足，則其外接球的表面積是　　　　 (用含及數(shù)字作答，不能含)

如果是線(xiàn)段上一點(diǎn)，則；類(lèi)比到平面的情形：若是內(nèi)一點(diǎn)，有；類(lèi)比到空間的情形：若

是四面體內(nèi)一點(diǎn)，則有　　　 　　　　　　　　　　

三棱錐的條棱中，其中條棱的長(zhǎng)都是，則第條棱長(zhǎng)的取值范圍是

(屆高三湖北八校月考)如圖，所在的平面和

四邊形所在的平面垂直，且，，

，，，，則點(diǎn)

在平面內(nèi)的軌跡是

圓的一部分　　　　　　　 橢圓的一部分

雙曲線(xiàn)的一部分　　　　　 拋物線(xiàn)的一部分

(屆高三安徽省江南十校聯(lián)考)如圖，已知正方體

的棱長(zhǎng)為，長(zhǎng)為的線(xiàn)段的

一個(gè)端點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在正方形

內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則中點(diǎn)的軌跡的面積為

四面體的一條棱長(zhǎng)為，其它各棱長(zhǎng)為，若將四面體的體積表示為的函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

問(wèn)題1． (江西)如圖，在直三棱柱中，底面為直角三角形，,，，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值

是　　　　　 　

問(wèn)題2．將如圖所示的直角梯形(圖中所示數(shù)字為對(duì)應(yīng)線(xiàn)段長(zhǎng)度)沿直線(xiàn)折成直二面角，連結(jié)部分線(xiàn)段后圍成一個(gè)空間幾何體，如圖所示，求異面直線(xiàn)與所成角的大小；求二面角的大��；這五個(gè)點(diǎn)在同一球面上，求該球的表面積.

問(wèn)題3．(江西)右圖是一個(gè)直三棱柱(以為底面)被一平面所截得到的

幾何體，截面為．已知，，，，.設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：∥平面

求二面角的大小；

求此幾何體的體積 .

問(wèn)題4． (重慶)如圖，在直三棱柱中，

，，；點(diǎn)分別在，

上，且，四棱錐與直三棱柱的

體積之比為．求異面直線(xiàn)與的距離；

若，求二面角的平面角的正切值．

折疊問(wèn)題的計(jì)算與證明：一定要關(guān)注“變量”和“不變量”在證明和計(jì)算中的應(yīng)用:折疊時(shí)位于棱同側(cè)的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系不變;位于棱兩側(cè)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系變，折前折后的圖形結(jié)合起來(lái)使用.

(陜西)一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是　 　　　　　　

(遼寧)若一個(gè)底面邊長(zhǎng)為，棱長(zhǎng)為的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)平面上，則此球的體積為　　　　　　　　

(全國(guó)Ⅱ)一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為的球面上。如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，那么該棱柱的表面積為　　　　　　　 　

正方體、正多面體、凸多面體、簡(jiǎn)單多面體是什么關(guān)系？

已知凸多面體每個(gè)面都是五邊形，每個(gè)頂點(diǎn)都有三條棱相交，試求該凸多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù).

一個(gè)廣告氣球被一束入射角為的平行光線(xiàn)照射，其投影是一個(gè)長(zhǎng)半軸為的橢圓，則制作這個(gè)廣告氣球至少需要的面料是　　　

在球面上有四個(gè)點(diǎn)、、、，如果、、兩兩互相垂直，且，那么這個(gè)球面的面積是 　　

北緯的圓把北半球面積分為兩部分，這兩部分面積的比為

已知過(guò)球面上、、三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，

且，則球面面積是

正八面體的相鄰兩個(gè)面所成二面角的大小為

問(wèn)題1．(遼寧)棱長(zhǎng)為的正方體，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線(xiàn)段為棱的

八面體的體積為 　　　　　　　　　　　

已知一個(gè)正四面體和一個(gè)正八面體的棱長(zhǎng)相等且為，把它們拼起來(lái)，使一個(gè)表面重合，所得的多面體有多少個(gè)面？

問(wèn)題2．(天津)一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為，則此球的表面積為　　　　　　　　 　

(全國(guó)Ⅰ文)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)

都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為　　　　　　

(江西文)四面體的外接球球心在上，且，，

在外接球面上兩點(diǎn)、間的球面距離是　　 　　　

(陜西)水平桌面上放有個(gè)半徑均為的球，且相鄰的球都相切(球心的連線(xiàn)構(gòu)成正方形).在這個(gè)球的上面放個(gè)半徑為的小球，它和下面個(gè)球恰好都相切，則小球的球心到水平桌面的距離是　　　　　　　

問(wèn)題3． (四川)設(shè)球的半徑是，、、是球面上三點(diǎn)，已知到、兩點(diǎn)的球面距離都是，且二面角的大小為，則從點(diǎn)沿球面經(jīng)、兩點(diǎn)再回到點(diǎn)的最短距離是

問(wèn)題4．三棱錐的兩條棱，其余各棱長(zhǎng)均為，求三棱錐的內(nèi)切球半徑和外接球半徑.

問(wèn)題5．已知球的半徑為，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它的側(cè)面積最大?側(cè)面積的最大值是多少?

每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)都有相同棱數(shù)的凸多面體，叫做正多面體.

正多面體有且只有種.分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.

簡(jiǎn)單多面體：考慮一個(gè)多面體，例如正六面體，假定它的面是用橡膠薄膜做成的，如果充以氣體，那么它就會(huì)連續(xù)(不破裂)變形，最后可變?yōu)橐粋�(gè)球面.如圖：象這樣，表面經(jīng)過(guò)連續(xù)變形可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w，叫做簡(jiǎn)單多面體.

說(shuō)明：棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是簡(jiǎn)單多面體

五種正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)：

正多面體	頂點(diǎn)數(shù)	面數(shù)	棱數(shù)
正四面體
正六面體
正八面體
正十二面體
正二十面體

歐拉定理(歐拉公式)：簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)有關(guān)系式： 計(jì)算棱數(shù)常見(jiàn)方法： ； 各面多邊形邊數(shù)和的一半；頂點(diǎn)數(shù)與共頂點(diǎn)棱數(shù)積的一半.

球的概念： 與定點(diǎn)距離等于或小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球定點(diǎn)叫球心，定長(zhǎng)叫球的半徑與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做球面.一個(gè)球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球

球的截面：用一平面去截一個(gè)球，設(shè)是平面的垂線(xiàn)段，為垂足，且，所得的截面是以球心在截面內(nèi)的射影為圓心，以為半徑的一個(gè)圓，截面是一個(gè)圓面.

球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做小圓

兩點(diǎn)的球面距離：球面上兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離.(為球心角的弧度數(shù)).

球的表面積和體積公式：，.

(安徽)在正方體上任意選擇個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何形體的個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何形體是　　 　　　　　　　(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)).

①矩形；②不是矩形的平行四邊形；③有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體；④每個(gè)面都是等邊三角形的四面體；⑤每個(gè)面都是直角三角形的四面體. (北京春) 兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，

把它們重疊在一起組成一個(gè)新長(zhǎng)方體，在這些新長(zhǎng)方體中，最長(zhǎng)的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度是

(上海)有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面

三角形的三邊長(zhǎng)分別為、、 ().用它們

拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情況中，全面積

最小的是一個(gè)四棱柱，則的取值范圍是　　　　　

(上海春)正四棱錐底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則其體積為　　　　　　

(全國(guó)Ⅰ)一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上.已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，則該三角形的斜邊長(zhǎng)為　　　　 　　

(江蘇)正三棱錐高為，側(cè)棱與底面所成角為，則點(diǎn)到側(cè)面的距離是　　　　　　

一個(gè)正三棱錐與一個(gè)正四棱錐，它們的棱長(zhǎng)都相等，把這個(gè)正三棱錐的一個(gè)側(cè)面重合在正四棱錐的一個(gè)側(cè)面上，這個(gè)組合體可能是

正四棱錐　　　 正五棱錐　　　 斜三棱柱　　　　 正三棱柱

如果三棱錐的底面是不等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角相等，且

頂點(diǎn)在底面的射影為，在內(nèi)，那么是的　

垂心 　　　　　　重心　 　　　　　外心　 　　　　內(nèi)心

如圖，在直三棱柱中，，

，、為側(cè)棱上的兩點(diǎn)，且，

則多面體的體積等于　　　　　　

過(guò)棱錐高的三等分點(diǎn)作兩個(gè)平行于底面的截面，它們將棱錐的側(cè)面分成三部分的面積的比(自上而下)為　　　　　 　　　　　　　

在三棱錐中，，則側(cè)棱與側(cè)面所成的角的大小是　　　　　

三棱錐一條側(cè)棱長(zhǎng)是，和這條棱相對(duì)的棱長(zhǎng)是，其余四條棱長(zhǎng)都是，求棱錐的體積.

平行六面體　 的底面是矩形，

側(cè)棱長(zhǎng)為　 ，點(diǎn)在底面上的射影

是的中點(diǎn)，與底面成角，

二面角為 ，求該平行六面體

的表面積和體積.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(屆高三合肥市三檢)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，過(guò)正三棱柱底面上的一條棱作一平面與底面成的平面角，則該平面與平面所截得的線(xiàn)段長(zhǎng)等于　　　　　　　　　

(屆高三寶雞中學(xué)第四次月考)在直四棱柱中，， ，，，垂足為.

　 求證：；求異面直線(xiàn)與所成的角.