Question

如圖，拋物線y=x²+ax+b與x軸交A（-1，0），B（3，0）兩點，直線l與拋物線交于A，C兩點，其中C點的橫坐標為2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值，并寫出此時點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A（-1，0），B（3，0）代入二次函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）首先求得C的坐標，利用待定系數(shù)法求得AC的解析式，然后設(shè)P的橫坐標是m，表示出P和E的縱坐標，則PE即可利用m表示出來，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：

1-a+b=0 9+3a+b=0

，
解得：

a=-2 b=-3

．
則拋物線解析式是：y=x²-2x-3．
（2）在y=x²-2x-3中令x=2，得：y=-3．
則C的坐標是（2，-3）．
設(shè)直線AC的解析式是：y=kx+c．
則

-k+c=0 2k+c=-3

，
解得：

k=-1 c=-1

．
則直線AC的解析式是：y=-x-1．
設(shè)P的橫坐標是m，則P的縱坐標是-m-1，E的縱坐標是m²-2m-3．
則PE=（-m-1）-（m²-2m-3）=-m²+m+2=-（m-

1

2

）²+

9

4

．
則當m=

1

2

時，PE的最大值是

9

4

．
此時P的坐標是（

1

2

，-

3

2

）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，正確表示出PE的長度是關(guān)鍵．