Question

四邊形ABCD中，E是邊AB上一點（不與點A，B重合），連接ED，EC，則將四邊形ABCD分成三個三角形．若其中有兩個三角形相似，則把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點；若這三個三角形都相似，則把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的黃金相似點．
（1）如圖①，∠A=∠B=∠DEC=60°，試判斷點E是否為四邊形ABCD的邊AB上的相似點？并說明理由；
（2）如圖②，在（1）的條件下，若E是AB的中點，
①判斷點E是否為四邊形ABCD的邊AB上的黃金相似點？并說明理由；
②若AD•BC=18，求AB的長；

（3）在矩形ABCD中，AB=10，BC=3，且A，B，C，D四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格點上，試在圖③中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個黃金相似點E．

Answer 1

考點：相似形綜合題,矩形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：新定義

分析：（1）由條件∠A=∠B=∠DEC=60°可得∠BEC=∠ADE，從而得到△AED∽△BCE，故點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．
（2）①由△AED∽△BCE可得

AD

BE

=

AE

BC

=

ED

CE

，由E是AB的中點可得AE=BE，從而得到

AD

AE

=

ED

CE

，進(jìn)而可以證到△AED∽△ECD，故點E是四邊形ABCD的邊AB上的黃金相似點．②根據(jù)

AD

BE

=

AE

BC

，AE=BE=

1

2

AB，AD•BC=18就可求出AB的長．
（3）當(dāng)AE=1或BE=1時，可以證到△EBC∽△DAE，△DAE∽△CED，從而得到點E是矩形ABCD的邊AB上的一個黃金相似點．

解答：解：（1）點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．
證明：如圖①，

∵∠A=∠B=∠DEC=60°，∠DEB=∠A+∠ADE，
∴∠BEC+60°=60°+∠ADE．
∴∠BEC=∠ADE．
∴△AED∽△BCE．
∴點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．

（2）如圖②，

①點E是四邊形ABCD的邊AB上的黃金相似點．
證明：由（1）得△AED∽△BCE．
則有

AD

BE

=

AE

BC

=

ED

CE

．
∵E是AB的中點，
∴AE=BE=

1

2

AB．
∴

AD

AE

=

ED

CE

．
∵∠A=∠DEC，
∴△AED∽△ECD．
∴△AED∽△BCE∽△ECD．
∴點E是四邊形ABCD的邊AB上的黃金相似點．
②∵

AD

BE

=

AE

BC

（已證），
∴AD•BC=AE•BE．
∵AD•BC=18，AE=BE=

1

2

AB．
∴18=（

1

2

AB）²．
∴AB=6

2

．
∴AB的長為6

2

．

（3）①在AB上取一點E，使得AE=1，點E就是矩形ABCD的邊AB上的一個黃金相似點，如圖③，

理由如下：
連接DE、CE．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC．
∵AB=10，BC=3，AE=1，
∴EB=9，AD=3．
∴

EB

BC

=3=

AD

AE

．
∴△EBC∽△DAE．
∴

EC

DE

=

BC

AE

，∠BEC=∠ADE．
∵AD=BC，
∴

EC

DE

=

AD

AE

．
∵∠A=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°．
∴∠BEC+∠AED=90°．
∴∠DEC=90°．
∴∠A=∠DEC．
∴△DAE∽△CED．
∴△EBC∽△DAE∽△CED．
∴點E是矩形ABCD的邊AB上的一個黃金相似點．
②在AB上取一點E，使得BE=1，點E就是矩形ABCD的邊AB上的一個黃金相似點，如圖③′，

理由如下：
連接DE、CE．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC．
∵AB=10，BC=3，BE=1，
∴AE=9，AD=3．
∴

EB

BC

=

1

3

=

AD

AE

．
∴△EBC∽△DAE．
∴

EC

DE

=

BC

AE

，∠BEC=∠ADE．
∵AD=BC，
∴

EC

DE

=

AD

AE

．
∵∠A=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°．
∴∠BEC+∠AED=90°．
∴∠DEC=90°．
∴∠A=∠DEC．
∴△DAE∽△CED．
∴△EBC∽△DAE∽△CED．
∴點E是矩形ABCD的邊AB上的一個黃金相似點．

點評：本題在新定義下考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，還考查了操作能力、閱讀能力及自主探究的能力，是一道以能力立意的好題．