Question

在⊙O中，已知AB為直徑，C、D是⊙O上兩點(diǎn)，且C、D在AB的兩側(cè)，OD⊥AB，CD交AB于E點(diǎn)，過E作EF∥BC交AC于F點(diǎn)．
（1）求證：CD平分∠ACB；
（2）若AF：CF=1：2，且CE=2，求△ACE的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用垂徑定理得出

AD

=

BD

，進(jìn)而得出∠ACD=∠BCD得出答案即可；
（2）首先得出EF=FC，利用勾股定理求出其長度，進(jìn)而得出AC的長，最后求出三角形面積．

解答：（1）證明：∵AB為直徑，OD⊥AB，
∴OD平分弧AB，即

AD

=

BD

，
∴∠ACD=∠BCD（弧相等，對(duì)應(yīng)的角也相等）
即CD平分∠ACB；

（2）解：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=90°，
∴∠FEC=45°，
∴EF=FC，
∴EC=2，
∴EF=FC=

2

，
∵AF：CF=1：2，
∴AF=

2

2

，
∴AC=AF+FC=

3 2

2

，
∴S_△AEC=

1

2

×EF×AC=

1

2

×

2

×

3 2

2

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及勾股定理和垂徑定理等知識(shí)，得出EF=FC的長是解題關(guān)鍵．