Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，8），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿折線AO-OB-BA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在AO，OB，BA邊上運(yùn)動(dòng)的速度分別為每秒3，4，5個(gè)單位，直線l從與OA重合的位置開始，以每秒

4

3

個(gè)單位的速度沿OB方向平行移動(dòng)，即移動(dòng)過程中保持l∥OA，且分別與OB，AB邊交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F相遇時(shí)，點(diǎn)P和直線l同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）線段AB所在直線的表達(dá)式為

 

；點(diǎn)F橫坐標(biāo)為

 

（用t的代數(shù)式表示）；
（2）設(shè)△APE的面積為S（S≠0），請(qǐng)求出點(diǎn)P和直線l運(yùn)動(dòng)過程中S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在點(diǎn)P和直線l運(yùn)動(dòng)過程中，作點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，記為點(diǎn)Q，若形成四邊形PEQF是菱形，請(qǐng)直接寫出t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法求一次函數(shù)，F(xiàn)與E的縱坐標(biāo)相同，即可求得F的橫坐標(biāo)；
（2）此題要掌握點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線，要掌握點(diǎn)P在不同階段的運(yùn)動(dòng)速度，即可求得；
（3）此題需要分三種情況分析：點(diǎn)P在線段OA上，在線段OB上，在線段AB上；根據(jù)菱形的判定可知：在線段EF的垂直平分線上與x軸的交點(diǎn)，可求的一個(gè)；當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，形成的是三角形，不存在菱形；當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上時(shí)，根據(jù)對(duì)角線互相平分且互相垂直的四邊形是菱形求得．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，根據(jù)題意得：

b=8 6k+b=0

，
解得：

b=8 k=- 4 3

，
則直線AB的解析式是：y=-

4

3

x+8．
在解析式中，令y=

4

3

t，則-

4

3

x+8=

4

3

t，
解得：x=6-t；

（2）當(dāng)0＜t≤2時(shí)（如圖1），P在OA上，OA=3t，E的坐標(biāo)是（0，

4

3

t），則S=

1

2

×3t•

4

3

t=2t²；
當(dāng)

4

3

t=4（t-2），解得：t=3，
則2＜t＜3時(shí)，P和E都在OB上，且P在E的下邊，則PE=

4

3

t-4（t-2）=8-

8

3

t，
則S=

1

2

（8-

8

3

t）×6=24-8t；
當(dāng)3＜t＜4時(shí)，P和E都在OB上，且P在E的上邊，且PE=4（t-2）-

4

3

t=

8

3

t-8，
則S=

1

2

（

8

3

t-8）×6=8t-24；
當(dāng)t＞4時(shí)，當(dāng)P在BA上時(shí)（如圖2），則BP=5（t-4），作PM⊥y軸于點(diǎn)M．
則△BPM∽△BAO，

PM

OA

=

BM

BO

=

BP

AB

，
即

PM

6

=

BM

8

=

5(t-4)

10

，
解得：PM=3t-12，BM=4t-16．
當(dāng)

4

3

t=8-（4t-16）時(shí)，t=

9

2

，即當(dāng)t=

9

2

時(shí)，P和F重合，點(diǎn)P和直線l同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
當(dāng)4≤t≤

9

2

時(shí)，S_△AOE=

1

2

OE•OA=

1

2

×

4

3

t×6=4t，S_△BEP=

1

2

×（8-

4

3

t）×（3t-12）=-2t²+20t-48，S_△OAB=

1

2

×6×8=24，
則S=24-4t-（-2t²+20t-48）=2t²-24t+72；

（3）當(dāng)P在OA上時(shí)，當(dāng)P在EF的中垂線上時(shí)，能構(gòu)成菱形，此時(shí)OP=

1

2

EF，即6-3t=

1

2

（6-t），解得：t=

6

5

；
當(dāng)P在P在線段OB上時(shí)，形成的是三角形，不存在菱形；
當(dāng)P在AB上時(shí)（如圖2），PM=

1

2

EF時(shí)，即3t-12=

1

2

（6-t），解得：t=

30

7

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，還考查了菱形的性質(zhì)與判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，還要注意答案的不唯一性．