Question

5．在⊙O中，弦AC⊥BD于點(diǎn)E，AC=BD．
（1）如圖1，求證：AB=CD；
（2）如圖2，作OF⊥CD于點(diǎn)F，求證：AB=2OF；
（3）如圖3，若AD=4，BC=8，連接OE，求OE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由AC=BD，得到$\widehat{AC}=\widehat{BD}$，于是得到$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，過O作OF⊥CD于F，連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于G，連接BG，DG，根據(jù)圓周角定理得到∠CBG=∠CDG=90°，∠CGB=∠CDB，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DCE=∠BCG，得到$\widehat{BG}=\widehat{AD}$，求得$\widehat{AB}=\widehat{DG}$，得到AB=DG，推出OF∥DG，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OF=$\frac{1}{2}$DG，等量代換得到結(jié)論；
（3）如圖3，過O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，根據(jù)垂徑定理得到BN=DN，AM=CM，由$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，得到AD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CAD=∠ACB，由圓周角定理得到∠CAD=∠DBC，等量代換得到∠ACB=∠DBC，得到△BCE是等腰直角三角形，同理△ADE是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AC=BD，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BD}$，
∴$\widehat{AC}-\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$-$\widehat{AD}$，
即：$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴AB=CD；

（2）如圖2，過O作OF⊥CD于F，連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于G，連接BG，DG，
∴∠CBG=∠CDG=90°，∠CGB=∠CDB，
∵AC⊥BD，
∴∠CDE+∠DCE=∠BGC+∠BCG=90°，
∴∠DCE=∠BCG，
∴$\widehat{BG}=\widehat{AD}$，
∴$\widehat{AB}=\widehat{DG}$，
∴AB=DG，
∵OF⊥CD，DG⊥CD，
∴OF∥DG，
∵OC=OG，
∴CF=DF，
∴OF=$\frac{1}{2}$DG，
∴OF=$\frac{1}{2}$AB；

（3）如圖3，過O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，
∴BN=DN，AM=CM，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∵∠CAD=∠DBC，
∴∠ACB=∠DBC，
∵AC⊥BD，
∴△BCE是等腰直角三角形，
同理△ADE是等腰直角三角形，
∵AD=4，BC=8，
∴AE=DE=2$\sqrt{2}$，BE=CE=4$\sqrt{2}$，
∴BD=AC=6$\sqrt{2}$，
∴BN=DN=AM=CM=3$\sqrt{2}$，
∴NE=EM=$\sqrt{2}$，
∴OE=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理，圓周角定理，三角形的中位線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．