Question

19．解下列各題
（1）解方程：x（2x-6）=x-3．
（2）已知關于x的方程kx²+2x-1=0有實數根．
①求k的取值范圍；
②當k=2時，請用配方法解此方程．

Answer 1

分析 （1）先移項，使方程的右邊化為零，再將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積，然后令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解；
（2）①當k=0時，是一元一次方程，有解；當k≠0時，方程是一元二次方程，因為方程有實數根，所以根據根的判別式△≥0，求出k的取值范圍；
②當k=2時，把k值代入方程，用配方法解方程即可．

解答 解：（1）移項，得x（2x-6）-（x-3）=0，
分解因式，得（x-3）（2x-1）=0，
則x-3=0，或2x-1=0，
解得x₁=3，x₂=0.5；

（2）①當k=0時，方程可化為：2x-1=0，
解得，x=0.5．
當k≠0時，∵方程有實數根，
∴b²-4ac≥0，
即：4+4k≥0，
解得，k≥-1，
又∵k≠0，
∴k≥-1且k≠0，
綜合上述可得，k≥-1；

②當k=2時，方程可化為2x²+2x=1，
二次項系數化為1，得x²+x=$\frac{1}{2}$，
配方得，（x+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{3}{4}$，
解得，x=-$\frac{1}{2}$±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即x₁=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x₂=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了根的判別式的運用，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．
也考查了用因式分解法與配方法解方程．第二題第一問分兩種情況討論是解題的關鍵．