Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=

4

3

x+8分別交x軸，y軸于點A，C，點D（m，4）在直線AC上，點B在x軸正半軸上，且OB=2OC．點E是y軸上任意一點，連結(jié)DE，將線段DE按順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段DG，作正方形DEFG，記點E為（0，n）．
（1）求點D的坐標；
（2）記正方形DEFG的面積為S，
①求S關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式；
②當DF∥x軸時，求S的值；
（3）是否存在n的值，使正方形的頂點F或G落在△ABC的邊上？若存在，求出所有滿足條件的n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由于點D（m，4）在直線AC上，代入直線AC的解析式可得關(guān)于m的方程，解方程即可得到點D的坐標為（-3，4）；
（2）①如圖1，過點D作DH⊥y軸于H，則EH=|n-4|，根據(jù)正方形的面積公式和勾股定理可得S關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式；
②當DF∥x軸時，點H即為正方形DEFG的中心，可得n=7，再代入函數(shù)關(guān)系式即可得到S的值；
（3）根據(jù)待定系數(shù)法可得BC為：y=-

1

2

x+8；再分四種情況：①當點F落在BC邊上時；②當點G落在BC邊上時；③當點F落在AB邊上時；④當點G落在AC邊上時；進行討論可得所有滿足條件的n的值．

解答：解：（1）∵點D（m，4）在直線AC上；
∴4=

4

3

m+8，
解得m=-3．
∴點D的坐標為（-3，4）；
（2）①如圖1，過點D作DH⊥y軸于H，則EH=|n-4|
∴S=DE²=EH²+DH²=（n-4）²+9；
②當DF∥x軸時，點H即為正方形DEFG的中心，
∴EH=DH=3，
∴n=4+3=7，
∴S=（7-4）²+9=18；
（3）∵OB=2OC=16，
∴B為（16，0），
∴BC為：y=-

1

2

x+8；
①當點F落在BC邊上時，如圖2，
作DM⊥y軸于M，F(xiàn)N⊥y軸于N，
在△DEM與△EFN中，

∠DME=∠ENF=90° ∠DEM=∠EFN DE=EF

，
∴△DEM≌△EFN（AAS），
∴NF=EM=n-4，EN=DM=3
∴F為（n-4，n-3）
∴n-3=-

1

2

（n-4）+8，
∴n=

26

3

；
②當點G落在BC邊上時，如圖3，
作DM⊥y軸于M，GN⊥DM軸于N，
由①同理可得△DEM≌△GDN，
∴GN=DM=3，DN=EM=n-4，
∴點G縱坐標為1，
∴1=-

1

2

x+8，
∴x=14，
∴DN=14+3=17=n-4，
∴n=21；
③當點F落在AB邊上時，如圖4，
作DM⊥y軸于M，
由①同理可得△DEM≌△EFO，
∴OE=DM=3，
即n=3；
④當點G落在AC邊上時，如圖5，
∵∠CDE=∠AOC=90°，∠DCE=∠OCA，
∴△DCE∽△OCA，
∴

CE

AC

=

CD

OC

，
∴

8-n

10

=

5

8

，
∴n=

7

4

，
顯然，點G不落在AB邊上，點F不落在AC邊上，故只存在以上四種情況．
綜上可得，當n=

26

3

或21或3或

7

4

時，正方形的頂點F或G落在△ABC的邊上．

點評：考查了一次函數(shù)綜合題，時間的知識點有：直線上的點的特征，正方形的面積公式和勾股定理，待定系數(shù)法求直線解析式，方程思想的運用，分類思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．