Question

1．如圖，拋物線經(jīng)過點A（1，0），B（5，0），C（0，$\frac{10}{3}$）三點，頂點為D，設點E（x，y）是拋物線上一動點，且在x軸下方．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當點E（x，y）運動時，試求三角形OEB的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值？
（3）在y軸上確定一點M，使點M到D、B兩點距離之和d=MD+MB最小，求點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）設出解析式，由待定系數(shù)法可得出結(jié)論；
（2）點E在拋物線上，用x去表示y，結(jié)合三角形面積公式即可得出三角形OEB的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再由E點在x軸下方，得出1≤x≤5，將三角形OEB的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式配方，即可得出最值；
（3）找出D點關(guān)于y軸對稱的對稱點D′，結(jié)合三角形內(nèi)兩邊之和大于第三邊，即可確定當MD+MB最小時M點的坐標．

解答 解：（1）設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，則
$\left\{\begin{array}{l}{0=a+b+c}\\{0=25a+5b+c}\\{\frac{10}{3}=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-4}\\{c=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$．
故拋物線解析式為y=$\frac{2}{3}$x²-4x+$\frac{10}{3}$．
（2）過點E作EF⊥x軸，垂足為點F，如圖1所示．

E點坐標為（x，$\frac{2}{3}$x²-4x+$\frac{10}{3}$），F(xiàn)點的坐標為（x，0），
∴EF=0-（$\frac{2}{3}$x²-4x+$\frac{10}{3}$）=-$\frac{2}{3}$x²+4x-$\frac{10}{3}$．
∵點E（x，y）是拋物線上一動點，且在x軸下方，
∴1≤x≤5．
三角形OEB的面積S=$\frac{1}{2}$OB•EF=$\frac{1}{2}$×5×（-$\frac{2}{3}$x²+4x-$\frac{10}{3}$）=-$\frac{5}{3}$（x-3）²+$\frac{20}{3}$（1≤x≤5）．
當x=3時，S有最大值$\frac{20}{3}$．
（3）作點D關(guān)于y軸的對稱點D′，連接BD′，如圖2所示．

∵拋物線解析式為y=$\frac{2}{3}$x²-4x+$\frac{10}{3}$=$\frac{2}{3}$（x-3）²-$\frac{8}{3}$，
∴D點的坐標為（3，-$\frac{8}{3}$），
∴D′點的坐標為（-3，-$\frac{8}{3}$）．
由對稱的特性可知，MD=MD′，
∴MB+MD=MB+MD′，
當B、M、D′三點共線時，MB+MD′最�。�
設直線BD′的解析式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{0=5k+b}\\{-\frac{8}{3}=-3k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線BD′的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{5}{3}$．
當x=0時，y=-$\frac{5}{3}$，
∴點M的坐標為（0，-$\frac{5}{3}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的運用、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、點的對稱以及三角形邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）能夠熟練運用待定系數(shù)法求解析式；（2）利用三角形面積公式找出三角形面積的解析式，再去配方求最值；（3）先找對稱點，再結(jié)合三角形內(nèi)兩邊之和大于第三邊確定點M的位置．本題屬于中檔題，難度不大，失分點在于（2）中部分同學會忘記求x的取值范圍；（3）中不會用找對稱點借助三角形邊的關(guān)系確定M點的位置．