Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8．點F在BC上CF=2，E是AB中點．
（1）求證：AC平分∠BCD；
（2）在AC上找一點M，使EM+FM的值最小，請你說明最小的理由，并求出這個最小值．

Answer 1

考點：梯形,全等三角形的判定與性質(zhì),軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）若要證明ACAC平分∠BCD，只要證明∠BCA=∠DCA即可；
（2）過點F作FG⊥AC于G，并延長交CD于N，連接EN交AC于M，連接MF，易證EN為梯形的中位線，求得EN即可．

解答：（1）證明：∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．
∴∠BCA=∠DCA．
即AC平分∠BCD．
（2）解：過點F作FG⊥AC于G，并延長交CD于N，連接EN交AC于M，連接MF．
∵∠BCA=∠DCA，∠FGC=∠NGC，GC=GC，
∴△CFG≌△CNG．
∴CF=CN=2．
∴GF=GN，
∴FM=MN，
∵E，M，N在一條直線上，
∴EM+MN最短，
∴EM+FM最短．
∵CD=4，
∴CN=DN=2．
∵E是AB中點，
∴EN=

1

2

（AD+BC）=

1

2

（4+8）=6，
∴EM+FM=EM+MN=EN=6．

點評：本題主要考查了梯形的性質(zhì)的應(yīng)用、最短路線問題，在直線L上的同側(cè)有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．