Question

11．如圖，已知正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AE，以AE為邊作正方形AEF0，使得點(diǎn)F在CD邊上，連接DG，
（1）求證：BE=DG；
（2）若AB=4，BE=$\sqrt{2}$，求tan∠GFD的值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=45°，AE=AG，∠EAG=90°，得出∠BAE=∠DAG，由SAS證明△ABE≌△ADG，得出∠ADG=∠ABD=45°，BE=DG；
（2）作GH⊥CD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，GT⊥AD于點(diǎn)I，證出四邊形DHGI為正方形，得出DH=HG=1，AI=3，由勾股定理求出AG，得出FG，由勾股定理求出FH，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=45°，
∵四邊形AEFG為正方形，
∴AE=AG，∠EAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠ADG=∠ABD=45°，BE=DG；
（2）解：作GH⊥CD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，GT⊥AD于點(diǎn)I，如圖所示：
∵∠ADC=∠ADH=90°，
∴四邊形DHGI為矩形，
∵∠ADG=45°，
∴∠GDH=45°，
∴GI=GH，
∴四邊形DHGI為正方形，
∵DG=BE=$\sqrt{2}$，
∴DH=HG=1，
∴ID=IG=1，
∵AB=4，
∴AI=4-1=3，
∴AG=$\sqrt{A{I}^{2}+I{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴FG=$\sqrt{10}$，F(xiàn)H=$\sqrt{F{G}^{2}-H{G}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-{1}^{2}}$=3，
∴tan∠GFD=$\frac{HG}{FH}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（2）中，需要證明四邊形是正方形和多次運(yùn)用勾股定理才能得出結(jié)果．