Question

7．某數(shù)學活動小組在做角的拓展圖形練習時，經(jīng)歷了如下過程：
（1）操作發(fā)現(xiàn)：
點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=120°．將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，如圖1．將圖1中的三角板繞點O旋轉(zhuǎn)，當直角三角板的OM邊在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC時，如圖2．
則下列結(jié)論正確的是①②④（填序號即可）
①∠BOM=60°；②∠COM-∠BON=30°；③OB平分∠MON；④∠AOC的平分線在直線ON上．
（2）數(shù)學思考：
同學們在操作中發(fā)現(xiàn)，當三角板繞點O旋轉(zhuǎn)時，如果直角三角板的OM邊在∠BOC的內(nèi)部且另一邊ON在直線AB的下方，那么∠COM與∠BON的差不變，請你說明理由；如果直角三角板的OM、ON邊都在∠BOC的內(nèi)部，那么∠COM與∠BON的和不變，請直接寫出∠COM與∠BON的和，不要求說明理由．
（3）類比探索：
三角板繞點O繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當直角三角板的ON邊在∠AOC的內(nèi)部時，如圖3．求∠AOM與∠CON相差多少度？為什么？

Answer 1

分析 （1）利用角平分線的定義結(jié)合直角三角板的內(nèi)角度數(shù)即可分別判斷得出答案；
（2）首先根據(jù)∠COM=120°-∠BOM，∠BON=90°-∠BOM，進而得出答案；
（3）因為∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，然后作差即可．

解答 解：（1）∵∠BOC=120°，OM平分∠BOC，
∴∠BOM=60°，故①正確；
∵∠BOM=60°，∠MON=90°，
∴∠COM=60°，∠BON=30°，
∴∠COM-∠BON=30°，故②正確；
∵∠BOM=60°，∠BON=30°，
∴OB平分∠MON，錯誤；
∵∠BOC=120°，∠BON=30°，
∴∠AOD=∠COD=30°，
∴∠AOC的平分線在直線ON上，故④正確；
故答案為：①②④；

（2）①∵∠COM=120°-∠BOM，
∠BON=90°-∠BOM，
∴∠COM-∠BON=120°-90°=30°；

②由題意可得：∠COM+∠BON=120°-90°=30°；

（3）∵∠AOM=90°-∠AON，∠CON=∠AOC-∠AON=60°-∠AON，
∴∠AOM-∠CON=90°-60°=30°．

點評 此題考查了角平分線的定義，應該認真審題并仔細觀察圖形，找到各個量之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．