Question

已知在⊙O中，C，D是直徑AB上的點(diǎn)，AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N在圓O上，求證：

AM

=

BN

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：分類討論

分析：根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得CM與DN的關(guān)系，根據(jù)SAS，可得Rt△ACM和Rt△BDN的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得AM與DN的關(guān)系，在同圓或等圓中，根據(jù)等弦所對(duì)的弧相等，可得答案．

解答：證明：如圖：
，
∵AC=BD，O是圓心，
∴OC=OD．
MC⊥AB，ND⊥AB，
∴∠ACM=∠NDB=90°．
在Rt△OCM和Rt△ODN中，

OM=ON OC=OD

，
∴Rt△OCM≌Rt△ODN（HL），
∴MC=ND．
在Rt△ACM和Rt△BDN中，

AC=BD ∠ACM=∠BDN MC=ND

，
∴Rt△ACM≌Rt△BDN（SAS），
∴AM=BN，

AM

=

BN

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，在同圓或等圓中等弦所對(duì)的弧相等．