Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，連接BD、CD，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△BCD的面積為s．試求出s與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出s的最大值；

（3）如圖2，設(shè)AB的中點(diǎn)為E，作DF⊥BC，垂足為F，連接CD、CE，是否存在點(diǎn)D，使得以C、D，F三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△CEO相似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）s與m的函數(shù)關(guān)系式為s＝﹣m2+m，s的最大值為；（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ，）或（，）．

【解析】

（1）由拋物線與x軸的交點(diǎn)可設(shè)交點(diǎn)式來(lái)求解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DM∥y軸，交BC于點(diǎn)M，因?yàn)?/span>點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，所以，可得s與m的函數(shù)關(guān)系式為，即可利用配方求出最大值；

（3）根據(jù)題意可知以C、D，F三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△CEO相似，∠CFD＝∠COE＝90°可分為兩種情況：△CFD∽△COE或△CFD∽△EOC，再利用相等角的三角函數(shù)值相等的關(guān)系式得到等量關(guān)系，解方程即可求得m的值

解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）

∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3

（2）過(guò)點(diǎn)D作DM∥y軸，交BC于點(diǎn)M如圖1：

∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2+2x+3＝3

∴C（0，3）

∴直線BC解析式為

∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為

∴

∴

∴

∴s與m的函數(shù)關(guān)系式為，s的最大值為．

（3）存在點(diǎn)D，使得以C、D，F三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△CEO相似

如圖2，連接BD

∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）

∴E（1，0），OE＝1，OC＝3，

∴

∴，

∵ ，DF⊥BC

∴

∴

∵以C、D，F三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△CEO相似，∠CFD＝∠COE＝90°

∴△CFD∽△COE或△CFD∽△EOC

① 若△CFD∽△COE，則∠FCD＝∠OCE

∴

∴

∴

解得：

∴

∴

② 若△CFD∽△EOC，則∠FDC＝∠OCE

∴

∴

∴

解得：

∴

∴

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為或．